1、 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算要求引起的分类讨论：
2、如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用 分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地
3、讨论解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.【热点分类突破】类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用 例1.已知集合，集合. （）当时，求； （）若,求实数的取值范围； （）若,求实数的取值范围. 分析：（）时，先确定集合中的元素，然后可求出；（2），说明中的元素都在中且，从而求得的取值范围；（3），说明中的元素都不在中或为空集，因为空集与任何集合的交集也是空集，分两种情况讨论可求得的取值范围. 例2.【宁夏银川市唐徕回民中学2016届高三月考
4、】已知命题p：关于x的不等式ax1(a0，a1)的解集是x|x0，命题q：函数ylg(ax2xa)的定义域为R，如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围分析：当和均为真时分别求得相应的范围.根据为真命题，为假命题，可知和一真一假.命题为假时取值范围是命题为真时取值范围的补集.解析：由关于的不等式的解集是，知；由函数的定义域为，知不等式的解集为，则解得.因为为真命题，为假命题，所以和一真一假，当假，真时，由；当真，假时，由。综上，知实数a的取值范围是规律总结：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Ve
5、nn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论 举一反三1.【江西省临川区第一中学2016届高三上学期第一次月考】已知集合，（1）分别求，；（2）已知集合，若，求实数的取值集合点评：空集是任何集合的子集，在解决有关AB，AB等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用2. 【河北定州中学2016届高三第一次月考】已知函数(1)求函数的最小值；(2)已知，命题：关于的不等式对任意恒成立；：函数是增函数，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围【解析】(1)作出函数的图象，可知函数在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为 (2)对于命题：，故；对于命题：，故
6、或由于“或”为真，“且”为假，则若真假，则，解得 若假真，则，解得或故实数的取值范围是 类型二：分类讨论思想在导数中的运用 例3. 【湖南省衡阳市第八中学2016届高三上学期第三次月考】已知函数()求函数的单调区间；()若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；()若正实数满足，证明分析：（）求，而使的所在区间便为的单调递减区间；（）构造函数，则，容易判断当时不合题意；而时，能够求出的最大值为，可设，该函数在上为减函数，并且，从而得到整数最小为2；（）由 ，便得到，这样令，容易求得函数的最小值为1，从而得到，解这个关于的一元二次不等式即可得出要证的结论上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成
7、立. 当时，令，得.所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，又因为在是减函数.所以当时，.所以整数的最小值为2. 点评：本题考查根据函数导数符号求函数单调区间的方法，根据函数导数符号求函数最值的方法，以及对数函数、反比例函数的单调性，解一元二次不等式等知识属难题，解题及证明过程中多次设置新函数，通过研究新函数达到解题或证明的目的，这是一个技巧，当然也是解题的难点，什么时间什么地方引入什么样的函数,这是一个知识积累方法发酵的过程. 规律总结：函数是具体的，其单调性和最值都很明确，定义域是变化的，这类问题分类讨论的标准就是看最值点是否在定义域内【举一反三】【河
8、北省衡水中学2016届高三上学期七调考试】已知函数.求的单调区间；若，且对任意恒成立，求的最大值；对于在区间上任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由.【解析】易得，函数定义域为，且当时，即在区间上是增函数，当时，即即在区间上是减函数的单调递增区间为，单调递减区间为.2.若由，由，即在上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上有最小值，为，于是转化为恒成立，求的最大值，令，当时， 单调递减，当时，单调递增.在处取得最大值.，的最大值为4.假设存在这样的满足题意，则由，要找一个使式成立，只需找到当时，函数的最小值满足即可.，令，取，在时，在时，下面只需证明：在时，成立即可，又令，则在时为
9、增函数.符合条件，即存在正数满足条件.类型三：分类讨论思想在解析几何中的运用例4. 【河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研六考试】已知椭圆的左右焦点其离心率为，点为椭圆上的一个动点，内切圆面积的最大值为.(1)求的值；(2)若是椭圆上不重合的四个点，且满足,求的取值范围.分析：（1）经分析当点P在椭圆的上下顶点处时，内切圆面积取得最大值，从而求得，然后由得，（2）由已知得，直线AC，BD垂直相交于点，然后设出直线方程并与椭圆方程联立求解即可，注意考虑所设直线的斜率是否存在问题当AC斜率存在且不为0时，设方程为，联立，化为把代入上式可得：，设，综上可得：的取值范围是） 点评：直线与圆锥曲线
10、的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x（或y）的一元二次方程，设出交点坐标A（）、B（），利用韦达定理得出坐标的关系，同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解如本题得到，然后求值域即可注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确规律总结：求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化【举一反三】（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高三联、理、20）已知椭圆（ab0）的左、右焦点为F1、F2，点A在椭圆上，且与x轴垂直（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求AOB面积的最大值此时，综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：AOB面积取最大值为