1、复数的乘、除运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(2020全国卷)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.D.2【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.2.(2019全国卷)设z=i(2+i),则=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2i D.-1-2i【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,则=-1-2i.3.(2018北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析
2、】选D.复数z=+i,所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.4.已知i为虚数单位,z=i2 019+i2 020的共轭复数为()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【解析】选A.因为z=i2 019+i2 020=i4504+3+i4505=i3+1=1-i,所以z的共轭复数为1+i.5.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1是实数,则实数t等于()A.B.C.-D.-【解析】选A.因为z2=t+i,所以=t-i.z1=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i,又因为z1R,所以4t-3=0,所以t=.6.(多选题)对于非零复数a,b,以下
3、四个命题一定为真的有()A.a+0B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.若|a|=|b|,则a=bD.若a2=ab,则a=b【解析】选BD.对于A,取a=-i,则a+=0,A不正确;对于B,对于任意复数a,b,一定有(a+b)2=a2+2ab+b2, B正确;对于C,取a=1,b=i,|a|=|b|,但ab,C错误;对于D,由a2=ab及a0,得a=b,D正确.所以正确的命题是BD.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(1+i)2-=_.【解析】(1+i)2-=2i-=-+i.答案:-+i8.(2018江苏高考)若复数z满足iz=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为_.【解析】设z=a
4、+bi,则i(a+bi)=ai+bi2=ai-b=1+2i,故a=2,b=-1,故z=2-i,实部为2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,bR.若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.【解析】z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i, z2=+i.由于z1和z2互为共轭复数,所以有解得10.若f(z)=2z+-3i,f(+i)=6-3i,求f(-z).【解析】因为f(z)=2z+-3i,所以f(+i)=2(+i)+()-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.又因为f(+i)=6-3
5、i,所以2+z-2i=6-3i.设z=a+bi(a,bR),则=a-bi,所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,即3a-bi=6-i.由复数相等的定义,得解得所以z=2+i,故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.+(1+i)2=+i+(-2+2i)=-+i,对应点在第二象限.2.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=
6、0,则=B.若z1=,则=z2C.若|z1|=|z2|,则z1=z2D.若|z1|=|z2|,则=【解析】选D.A项,|z1-z2|=0z1-z2=0z1=z2=,真命题;B项,z1=z2,真命题;C项,|z1|=|z2|z1|2=|z2|2z1=z2,真命题;D项,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即,假命题.3.(多选题)下列叙述正确的是()A.方程3x2-2x+1=0的两个根互为共轭虚数B.设i是虚数单位,则复数i3-=iC.a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充要条件D.a=6是复数为纯虚数的充要条件【解析】选ABD.方程3x2-2x+1=0的0,
7、两个根为共轭虚数,选项A正确.i3-=-i-=-i-=-i+2i=i,选项B正确.因为复数(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i为实数的充要条件是a=1,所以a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充分不必要条件,选项C不正确.因为=,所以当a=6时,复数为纯虚数,反之成立,选项D正确.4.已知集合M=,i是虚数单位,Z为整数集,则集合ZM中的元素个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由已知得M=-1,-i,0,2,Z为整数集,所以ZM=-1,0,2,即集合ZM中有3个元素.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知i为虚数单位,则=_.【解析】=-1.答案:-16.已知i是
8、虚数单位,z=,则|z|=_.【解析】因为=i,所以z=i1 009=i4252+1=i=-+i,|z|=1.答案:17.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=+(,R),则+的值是_.【解析】由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=+,得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),所以解得所以+=1.答案:18.设x,y为实数,且+=,则x+y=_.【解析】+=可化为+=,即+i=+i,由复数相等的充要条件知所以所以x+y=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知复数z满足|z|
9、=5,且(3+4i)z是纯虚数,求z.【解析】设z=x+yi(x,yR),因为|z|=5,所以x2+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,所以解得或,所以z=4+3i或z=-4-3i.10.设z为虚数,求证:z+为实数的充要条件是|z|=1.【证明】设z=a+bi(a,bR,b0),于是z+=a+bi+=a+bi+=+i,所以b0,(z+)Rb-=0a2+b2=1|z|=1.11.若虚数z同时满足下列两个条件:z+是实数;z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题指南】假设存在虚数满足题意,设虚数的代数形式,代入运算,看解方程组是否有解.【解析】假设存在虚数z满足题意,设z=a+bi(a,bR且b0),z+=a+bi+=a+bi+=+i.因为z+是实数,所以b-=0.又因为b0,所以a2+b2=5.又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,所以a+3+b=0.由得解得或故存在虚数z,z=-1-2i或z=-2-i.
