1、数学测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合M,N,由此能求出.【详解】故选：B【点睛】本题考查了集合的交集和并集运算，考查了学生的数学运算能力，属于基础题.2.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意只需解不等式组即可.【详解】由题意使函数表达式有意义，即，解得，所以函数的定义域为.故选：A【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域，属于基础题.3.已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ）A. 的定义
2、域为B. 在其定义域上为减函数C. 是偶函数D. 是奇函数【答案】B【解析】分析】用待定系数法求出，即可得出结论.【详解】设幂函数，点代入得，解得，根据幂函数的性质可得，选项B正确. 故选:B【点睛】本题考查求幂函数的解析式及性质，属于基础题.4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.5.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据半角公式化简原式，再根据的范围即可求得.【
3、详解】由半角公式可得：，又知，原式=.故选：.【点睛】本题主要考查的是二倍角余弦公式的应用，以及三角函数在给定的范围内的正负问题，要求学生熟练掌握半角公式，考查学生的计算能力，是基础题.6.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式，据此可知，这段时间水深(单位：)的最大值为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值.【详解】由题意可得当取得最小值-1时，函数取最小值，因此当取得最大值1时，函数取最小值.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的应用问题，考查了学生实际应用，综合分析，数学运算能力，属于中档题.7.已知
4、，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由诱导公式化简后即可求值【详解】-sin故选C【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题8.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题
5、给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.下列结论正确的是（ ）A. 第三象限角B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C. 若角的终边过点，则D. 若角为锐角，则角为钝角【答案】BC【解析】【分析】根据角的定义，可判断选项A是否正确；由扇形的面积公式，判断选项B是否正确；根据三角函数定义，判断选项C是否正确；根据角的范围，判断选项D是否正确.【详解】选项A：终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；选项B：设扇形的半径为，扇形面积为，所以B正确；选项C：角的终边过点，根据三角函数定义，所以C正确； 选项D：角为锐角时，所以D不正确.故选:BC
6、【点睛】本题考查有关角的定义和范围、三角函数的定义、扇形弧长和面积公式的命题真假判定，属于基础题.10.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图像不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对数函数的底数a分a1,0a1两类讨论函数图像.【详解】当时，函数单调递减，开口向下，对称轴在y轴的左侧，排除C，D；当时，函数单调递增，开口向上，对称轴在y轴的右侧，排除B；故选：A【点睛】本题考查了对数函数和二次函数图像，考查了学生综合分析，分类讨论，数形结合的能力，属于中档题.11.已知函数，则（ ）A. 为的一个周期B. 的图象关于直线对称C. 在上单调递减D. 的一个零点为【答案
7、】AD【解析】【分析】利用余弦函数的周期性，对称性，单调性和诱导公式直接求解即可.【详解】根据函数知最小正周期为，正确.当时，由余弦函数的对称性知，错误；函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； ，故正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是三角函数的周期，三角函数的对称性，函数零点的概念，三角函数的单调性，熟练掌握余弦函数的图象和性质是解决本题的关键.12.已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据所给条件，利用同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：即，加得减得综上可得，正确的有故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.三、填空
8、题：本题共4小题，每小题5分，共20分13._【答案】【解析】分析：根据诱导公式以及特殊角三角函数值得结果.详解：点睛：本题考查诱导公式，考查基本求解能力.14.函数，则_.【答案】【解析】【分析】首先求出，再将代入对应的解析式即可求解.【详解】由，所以，所以，故答案为：【点睛】本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.15.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由不等式恒成立可得函数的图象始终在轴下方，从而得出结论【详解】解：不等式对任意恒成立，函数的图象始终在轴下方，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，通常转化为最值问题，本题借助三个二次（二
9、次函数、一元二次不等式、一元二次方程）之间的关系解题，考查数形结合，属于基础题16.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则当时， _.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的定义，即可求解.【详解】当时，是奇函数，.故答案为:【点睛】本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.求下列各式的值：（1）（2）【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质即可求得；（2）利用分数指数幂的运算性质即可求得.【详解】（1）原式；（2）原式=【点睛】本题主要考查的是分数指数幂的运算性质以及对数运算的性质
10、，考查学生的计算能力，熟练掌握并应用公式是解决本题的关键，是基础题.18.已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）若函数的最小值为，求实数的值【答案】（1）偶函数（2）【解析】【分析】(1)先求定义域,再求与的关系即可.(2)根据对数函数的单调性判断取最小值时的情况再求的值即可.【详解】解（1）要使函数有意义,则有解得,因为,所以是偶函数（2）,因为,所以,令,又,所以在上为减函数,所以,所以,【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断以及利用函数单调性求最值的方法等.属于中等题型.19.在平面直角坐标系中,已知角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点.(1)请写出,的值;(2)若角满足.()计算的值;
11、()计算的值.【答案】(1),.(2)() () 【解析】【分析】(1)根据三角函数的定义直接写出即可.(2)i.根据两角和的余弦公式以及同角三角函数的关系求解即可.ii.根据与同角三角函数关系求解,再根据二倍角公式代入求解即可.【详解】(1)由三角函数定义可知:,.(2)(法一)()由题意可知:,即,所以有:.()原式.(法二)()由题意可知:,所以,()由,可知或原式【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及同角三角函数的关系式以及三角恒等变换公式计算等.属于中档题.20.已知函数. （1）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围;（2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）
12、（2）【解析】【分析】（1）根据二次函数对称轴与区间关系，即可求解；（2）由二次函数图像关系，或转化为二次函数最值有关的不等式，即可求出结论.【详解】解：（1）由函数知，函数图象的对称轴为. 因为函数在区间上具有单调性，所以或，解得或，所以实数的取值范围为. （2）解法一：若对切实数都成立，则，所以，化简得，解得，所以实数的取值范围为. 解法二：若对一切实数都成立，则， 所以， 化简得， 解得， 所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，属于中档题.21.已知函数的最大值为1. （1）求常数的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求使成立的实数的取值集合.【答案】（1）（2）
13、.（3）【解析】【分析】（1）化简，求最大值，即可求解；（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；（3）运用正弦函数图像，即可求解.【详解】解：. （1）函数的最大值为，所以. （2）由，解得，所以的单调递增区间为. （3）由（1）知. 因为，即. 所以，所以. 所以，所以使成立的的取值集合为.【点睛】本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.22.已知函数的部分图象如图所示（1）求函数的表达式；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用函数的图象得到，求出，利用函数图象经过的特殊点，求出，即可求出函数的解析式；（2）根据函数平移关系求出函数的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可.【详解】（1）由题图可知，所以，所以，将点的坐标代入函数，得，即，因，所以， 所以函数的表达式为（2）依题意，方程在上有实数解，即方程在上有实数解令，的值域为，所以实数的取值范围为【点睛】本题主要考查的是三角函数的解析式的求法、三角函数图象变换以及正弦三角函数图象和性质的应用，方程根的存在性，体现了转化的数学思想，考查学生的计算能力，是中档题.