1、第二讲三角恒等变换与解三角形 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 六个公式：sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1三个公式：sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.应用二倍角公式的变形求值的注意问题已知sin ，cos 的值求tan时，应优先采用tan或tan，这样可以避免由“tan”带来增解三、辅助角公式asin bcos sin().1辅助角公式的特殊情况(1)sin cos sin；(2)sin cos 2sin；(3)cos sin 2
2、sin.2辅助角公式的作用(1)利用该公式可将形如yasin xbcos x的函数转化为形如yAsin(x)的函数，进而研究函数的性质(2)若函数yasin xbcos x的定义域为R，则值域为，四、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos C变形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；abcsin_Asin_Bsin_C；.cos A；cos B；cos C.解决问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知三边，求各角；已知两边和它们的
3、夹角，求第三边和其他两个角.在ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，absin A，无解当A为钝角或直角时，ab，无解五、三角形常用面积公式1Saha(ha表示边a上的高)；2Sabsin Cacsin Bbcsin A.3Sr(abc)(r为内切圆半径)三角形中的常用结论(1)ABC，.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(A、B、C)基础自测1
4、(2013江西高考)若sin ，则cos ()A B C. D.【解析】cos 12sin21221.【答案】C2在ABC中，a15，b10，A60，则cos B()A. B. C D【解析】由正弦定理，得sin B.ab，A60，B60，cos B.【答案】A3ABC中，B120，AC7，AB5，则ABC的面积为_【解析】由余弦定理知AC2AB2BC22ABBCcos 120，即4925BC25BC，解得BC3.故SABCABBCsin 12053.【答案】考点一 简单的三角恒等变换例 化简：(1)sin 50(1tan 10)；(1)sin 50sin 501.(2)(2013浙江高考)函
5、数f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分别是()A，1 B，2 C2，1 D2，2(2)f(x)sin 2xcos 2xsin，所以最小正周期为T，振幅A1.跟踪练习：(2012四川高考)已知函数f(x)cos2sin cos .(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f()，求sin 2的值【解】(1)由已知，f(x)cos2sin cos (1cos x)sin xcos，所以f(x)的最小正周期为2，值域为.(2)由(1)知，f()cos，所以cos.所以sin 2coscos 212cos21.考点二 正余弦定理例(2013山东高考)设ABC的内角A，B，
6、C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值【自主解答】(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为锐角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.跟踪练习：（2014山东）中，角A，B，C所对的边分别为. 已知.（）求的值；（II）求的面积.【解析】：（）由题意知：， ， 由正弦定理得：（）由得.,，因此，的面积考点三 解三角形及其应用
7、例 2014浙江卷 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin24sin Asin B2.(1)求角C的大小；(2)已知b4，ABC的面积为6，求边长c的值解：(1)由已知得21cos(AB)4sin Asin B2，化简得2cos Acos B2sin Asin B，故cos(AB)，所以AB，从而C.(2)因为SABCabsin C，由SABC6，b4，C，得a3.由余弦定理c2a2b22abcos C，得c.跟踪练习： 已知函数 (I)求的最小正周期及对称轴方程； ()在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bc=6，求a的最小值.考点四 正余弦定理的实
8、际应用例 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离【思路点拨】将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形【尝试解答】如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB(km)，A、B之间的距离为 km.规律方法11.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角形中，建立一个解三角形的模型；2.利用正、余弦定理解出所求的边和角，得出该数学模型的解.
9、跟踪练习图385如图385所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解】由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理，得，DB10(海里)，又DBCDBAABC60，BC20(海里)在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900.CD30(海里)则需要的时间t1(小时)
