1、第二讲数列求和及数列的综合应用一、公式法与分组求和法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常用的拆项方法(1)(2)()(3)(4)四、倒序相加法和并项求和法1倒序相加法如果一个数列an的
2、前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的2并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.基础自测1等差数列an的通项公式为an2n1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为()A120 B70 C75 D100【解析】Snn(n2)，n2.数列前10项的和为：(1210)2075.【答案】C2数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n等
3、于()A9 B9 9 C10 D100【解析】an，又a1a2an(1)19，n99.【答案】B3若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()A15 B12 C12 D15【解析】an(1)n(3n2)，a1a2a10(14)(710)(2528)3515.【答案】A4已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A. B. C. D.【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为11.【答案】A考点一 分组转化求和例 (2014山东) 在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（
4、）求数列的通项公式；（II）设，记，求.【解析】： （）由题意知：为等差数列，设，为与的等比中项且，即， 解得：. （）由 （）知：，当n为偶数时： 当n为奇数时： 综上：跟踪练习 2014湖南卷 已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和 解：(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)
5、2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.方法与技巧分组转化法求和的常见类型,(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和.(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.考点二 错位相减求和例 （2013山东）设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足1，nN*，求bn的前n项和Tn.解：本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法等知识，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d. 由S
6、44S2，a2n2an1得解得a11，d2.因此an2n1，nN*.(2)由已知1，nN*，当n1时，；当n2时，1，所以，nN*.由(1)知an2n1，nN*，所以bn，nN*.又Tn，Tn，两式相减得Tn，所以Tn3.方法与技巧：1错位相减只是实现求和的途径，其本质是相减后利用等比数列求和公式求和在构造方程时，Sn的左右两边同乘以等比数列的公比2错位相减法的难点在于运算，为力求运算准确，要注意两式相减时幂指数相同的项要对齐，同时注意剩余的项3当an为等差数列，bn为等比数列时，求数列anbn的前n项和，可用错位相减法跟踪练习(2012江西高考)已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*
7、)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.【解】(1)当nkN时，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，故k216，因此k4，从而anSnSn1n(n2)又a1S1，所以ann.(2)因为bn，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.考点三 裂项相消求和例 (2013课标全国卷)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和【思路点拨】(1)结合等差数列的求和公式列出关于首项和公差的方程组求解；(2)裂项求和，但要注意裂项后的系数【尝试解答】(1)设an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解
8、得故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.,方法与技巧1.本例第(2)问在求解时，常因“裂项”错误，导致计算失误2利用裂项相消法求和应注意以下两点(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.跟踪练习 (2010山东)已知等差数列an满足：a37，a5a726.an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a37，a5a726，所
9、以a12d7,2a110d26，解得a13，d2.由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(2)因为an2n1，所以a14n(n1)，因此bn()故Tnb1b2bn(1)(1)，所以数列bn的前n项和Tn.考点四 数列与不等式的综合应用例 (2014潍坊模拟)已知公比为q的等比数列an是递减数列，且满足a1a2a3，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列(2n1)an的前n项和为Tn；(3)若bn(nN*)，证明：.【规范解答】(1)由a1a2a3及等比数列性质得a，即a2，1分由a1a2a3得a1a3.由得，所以，即3q210q30，解得q3，或q.3分因
10、为an是递减数列，故q3舍去，q，由a2，得a11，故数列an的通项公式为an(nN*).4分(2)由(1)知(2n1)an，所以Tn1，Tn5分得：Tn112122所以Tn38分(3)因为bn(nN*)n，9分所以22，11分因为n1，所以.12分跟踪练习 2014湖北卷 已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式(2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解：(1)设数列an的公差为d，依题意知，2，2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4，当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n，显然2n60n800成立当an4n2时，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的正整数n；当an4n2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.