1、北京市丰台二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：每题只有一个正确选项，请把你认为正确的选项填涂在答题卡上.共12小题，每题5分，计60分.1（5分）复数z=的虚部为（）A2B2iC1Di2（5分）下列语句不是命题的是（）A他的个子很高B5的平方是20C北京是中国的一部分D同角的余角相等3（5分）已知p，q是简单命题，则“pq是真命题”是“p是假命题”的（）A充分而不必要条件B充分必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知a、b是两条异面直线，ca，那么c与b的位置关系（）A一定是异面B一定是相交C不可能平行D不可能垂直5（5分）在命题“已知a，b都是实
2、数，若a+b0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A0B1C2D36（5分）如图，E、F、G、H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A五面体B棱锥C棱台D棱柱7（5分）命题“对任意xR，都有x20”的否定为（）A存在x0R，使得x020B对任意xR，使得x20C存在x0R，都有D不存在xR，使得x208（5分）若直线a直线b，直线b平面，则a与的关系是（）AaBaCaDa或a9（5分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的体积为（）ABC1D210（5分）如图是长方体被一平面所截后得到的几何体，四边形EFGH为
3、截面，长方形ABCD为长方体的底面，则四边形EFGH的形状为（）A梯形B平行四边形C梯形或平行四边形D不能确定11（5分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任意一点，则有：PABC；BC平面PAC；ACPB；PCBC上述关系正确的题号是（）ABCD12（5分）如图，DA平面ABC，ED平面BCD，DE=DA=AB=AC，BAC=120，M为BC的中点，则直线EM与平面BCD所成角的正弦值为（）ABCD二、填空题：请把你认为正确的结果填写在答题卡对应位置上.共6小题，每题5分，总计30分.13（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为；类似
4、地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为14（5分）将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为：15（5分）若=4+3i，=1i（i是虚数单位），则=（用复数代数式表示）16（5分）用一个平面去截一个球，若与球心距离为1的截面圆的半径也为1，则该球的体积为17（5分）已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；当满足条件时，有m（填所选条件的序号）18（5分）如图（1），在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将PCD沿CD折起，得到四棱锥PABCD，如图（2）则在四棱锥PABCD中，AP
5、与平面EFG的位置关系为三、解答题：要写出证明过程或解答过程.19（15分）如图，在正方体ABCD=A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点（1）求证：AD1平面EFG；（2）求证：平面AB1D1平面EFG；（3）求异面直线B1D1与EG所成的角度数20（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD（1）求证：CD平面PAD；（2）求证：平面PAB平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？21（15分）在数列an中，已知a1=1，且an+1=（
6、1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列an的通项公式；（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想22（15分）已知函数f（x）=ax+（a1）（1）试比较f（3）与f（2），f（0）与f（1）的大小；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根北京市丰台二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每题只有一个正确选项，请把你认为正确的选项填涂在答题卡上.共12小题，每题5分，计60分.1（5分）复数z=的虚部为（）A2B2iC1Di考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用两个复数代数形
7、式的乘除法法则化简复数z，从而求得它的虚部解答：解：复数z=i，故复数z的虚部为1，故选：C点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）下列语句不是命题的是（）A他的个子很高B5的平方是20C北京是中国的一部分D同角的余角相等考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：本题考查命题的定义，根据定义逐项判断即可，属于基础题目解答：解：A、无法判断真假，不是命题，A错误，B，C，D可以判断真假，是命题，正确，故选：A点评：解题关键是定义：命题是能够判断真假的陈述句3（5分）已知p，q是简单命题，则“pq是真命题”是“p是假命题”的（）A充分而不必
8、要条件B充分必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：解：若pq是真命题，则p，q都是真命题，则p是假命题，即充分性成立，若p是假命题，则p是真命题，此时pq是真命题，不一定成立，即必要性不成立，故“pq是真命题”是“p是假命题”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键4（5分）已知a、b是两条异面直线，ca，那么c与b的位置关系（）A一定是异面B一定是相交C不可能平行D不可能垂直考点：空
9、间中直线与直线之间的位置关系 专题：证明题分析：由平行公理，若cb，因为ca，所以ab，与a、b是两条异面直线矛盾异面和相交均有可能解答：解：a、b是两条异面直线，ca，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行因为若cb，因为ca，由平行公理得ab，与a、b是两条异面直线矛盾故选C点评：本题考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力5（5分）在命题“已知a，b都是实数，若a+b0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A0B1C2D3考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：结合互为逆否的两个命题真假性相同，逐一分析命题“已知a，b都是实数，若a
10、+b0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题真假，可得答案解答：解：命题“已知a，b都是实数，若a+b0，则a，b不全为0”为真命题，故其逆否命题为真命题；命题“已知a，b都是实数，若a+b0，则a，b不全为0”的逆命题为“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a+b0”为假命题；故原命题的否命题也为假命题；故命题“已知a，b都是实数，若a+b0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是2个，故选：C点评：本题考查四种命题的真假，本题解题的关键是知道原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性6（5分）如图，E、F、G、H是三棱柱对应边上的中
11、点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A五面体B棱锥C棱台D棱柱考点：平面的基本性质及推论 专题：空间位置关系与距离分析：根据棱柱的结构特征进行判断解答：解：截面以下的几何体满足：有两个平面互相平行，其它侧面都是平行四边形，相邻侧面的棱互相平行，这样的立体图形为四棱柱，故选：D点评：主要考查了棱柱的结构特征，属于容易题7（5分）命题“对任意xR，都有x20”的否定为（）A存在x0R，使得x020B对任意xR，使得x20C存在x0R，都有D不存在xR，使得x20考点：命题的否定；全称命题 专题：证明题分析：根据全称命题“xM，p（x）”的否定为特称命题：“x0M，p（x）”即可得出
12、解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意xR，都有x20”的否定为“x0R，使得”故选A点评：熟练掌握全称命题“xM，p（x）”的否定为特称命题“x0M，p（x）”是解题的关键8（5分）若直线a直线b，直线b平面，则a与的关系是（）AaBaCaDa或a考点：平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：根据线面垂直的性质、线面平行的判定，即可得出结论解答：解：直线a直线b，直线a平面，b，或b，若b，则b，b，或b故选：D点评：本题考查线面垂直的性质、线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9（5分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的
13、体积为（）ABC1D2考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱锥解答：解：该几何体为三棱锥，其体积为V=312=1，故选C点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力10（5分）如图是长方体被一平面所截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为长方体的底面，则四边形EFGH的形状为（）A梯形B平行四边形C梯形或平行四边形D不能确定考点：平面的基本性质及推论 专题：空间位置关系与
14、距离分析：首先，分产生的截面四边形的四个顶点的位置进行讨论解答：解：如图示时，该截面四边形为平行四边形，当截面产生的两个四个交点，其中两个为下底面的产生的，两个为截面与上底面产生时，此时截面四边形为梯形，故截面四边形可能为梯形或平行四边形，故选：C点评：本题重点考查了空间中棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于容易题注意分类讨论思想在求解问题中的灵活运用11（5分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任意一点，则有：PABC；BC平面PAC；ACPB；PCBC上述关系正确的题号是（）ABCD考点：直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离分析：由PA以AB为直径的圆所
15、在的平面，可得A正确，由圆的性质可得ACBC，可得B正确，由B及线面垂直的性质可得D正确解答：解：由题意可得ACBC，由PA以AB为直径的圆所在的平面可知PABC，故正确，BC平面PAC，故正确，对于假设ACPB，结合选项，可得AC平面PBC，则ACPC，又ACPA，故不正确，利用直线与平面垂直的性质可得BCPC，故正确，故选B点评：本题主要考查了三垂线定理的运用，涉及到了“线面垂直”与“线线垂直”的转化，要求考生熟练掌握基本概念、基本定理12（5分）如图，DA平面ABC，ED平面BCD，DE=DA=AB=AC，BAC=120，M为BC的中点，则直线EM与平面BCD所成角的正弦值为（）ABCD
16、考点：直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：由ED平面BCD，可得DM为EM在平面BCD上的射影，即EMD为EM与平面BCD所成角解三角形可得直线EM与平面BCD所成角的正弦值；解答：解：ED平面BCD，DM为EM在平面BCD上的射影，EMD为EM与平面BCD所成角DA平面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC，DAAB，DAAC，设DE=DA=AB=AC=a，则DC=DB=a，在ABC中，BAC=120，BC=a，又M为BC中点，DMBC，BM=BC=a，DM=a在RtEDM中，EM=，sinEMD=，故选：A点评：本题考查的知识点是直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定
17、定理，直线与平面垂直的性质定理，难度中档二、填空题：请把你认为正确的结果填写在答题卡对应位置上.共6小题，每题5分，总计30分.13（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为；类似地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：由正三角形的面积计算公式S=（a为边长），可得=如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO=，可得h=利用它们的体积比=即可得出解答：解：由正三角形的面积计算公式S=（a为边长）=如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO=h=两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比=故答案
18、为：点评：本题考查了面积比、体积比与棱长比之间的关系、三角形的面积计算公式、棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为：“平行四边形的对角线互相平分”考点：演绎推理的基本方法 专题：推理和证明分析：由演绎推理的基本规则，大前提是一个一般性的结论，本题中研究的是平行四边形的性质，可得答案解答：解：将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式为：大前提：“平行四边形的对角线互相平分”，小前提：“菱形是平行四边形”，结论：“菱形的对角线互相平分”，故答案为：“平行四边形的对角线互相平分”点评：本题考查进行简单的演绎推理，解
19、题的关键是对演绎推理的规则有着熟练的掌握，再就是熟练掌握了平行四边形的性质，本题是概念型题，知识性理论性较强15（5分）若=4+3i，=1i（i是虚数单位），则=54i（用复数代数式表示）考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用向量的坐标运算结合复数的加法运算得答案解答：解：=4+3i，=1i（i是虚数单位），则=1i（4+3i）=54i故答案为：54i点评：考查了复数的代数表示法及其几何意义，训练了平面向量的坐标运算，是基础题16（5分）用一个平面去截一个球，若与球心距离为1的截面圆的半径也为1，则该球的体积为考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系
20、与距离分析：求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为1，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积解答：解：用一平面去截球所得截面的面积为，所以小圆的半径为1已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为r=所以球的体积为：r3=故答案为：点评：本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是基础题17（5分）已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；当满足条件时，有m（填所选条件的序号）考点：直线与平面平行的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：要使m，根据线面平行的判定定理和定义，只需m与内的一条直线平行或者m在与平行的平面内即可解答：解：根据
21、面面平行的性质，可得m，时，m故满足条件时，有m故答案为：点评：本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用18（5分）如图（1），在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将PCD沿CD折起，得到四棱锥PABCD，如图（2）则在四棱锥PABCD中，AP与平面EFG的位置关系为平行考点：棱锥的结构特征 专题：空间位置关系与距离分析：首先，可以取AD的中点为H，连接FH，得到FHPA，然后，得到AP平面EFG解答：解：可以取AD的中点为H，连接FH，因为F为中点，所以FHPA，PA平
22、面EFHG，AP平面EFG故答案为：平行点评：本题重点考查了空间中点线面的位置关系、直线与平面平行等知识，属于中档题若题目中出现中点问题，添加辅助线的口诀为：有中点连中点，得到中位线；无中点，取中点，相连得到中位线三、解答题：要写出证明过程或解答过程.19（15分）如图，在正方体ABCD=A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点（1）求证：AD1平面EFG；（2）求证：平面AB1D1平面EFG；（3）求异面直线B1D1与EG所成的角度数考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）首先，连结C1B，然后，得到四边
23、形ABC1D1是平行四边形，从而得证；（2）根据（1）可以证明AB1平面EFG，从而证明；（3）根据平行关系，得到FEG就是异面直线B1D1与EG所成的角，然后放到三角形中求解解答：解：（1）连结C1B，ABB1C1，且AB=B1C1四边形ABC1D1是平行四边形，AD1BC1，又E、G为中点，BC1EG，AD1EG，AD1平面EFG；（2）结合（1），同理可以证明AB1平面EFG，AB1AD1=A，平面AB1D1平面EFG；（3）BDB1D1，且BDEF，FEG就是异面直线B1D1与EG所成的角，在EFG中，显然为等边三角形，异面直线B1D1与EG所成的角为60点评：本题重点考查了空间中平行
24、关系、异面直线所成的角等知识，考查比较综合，解题关键是学会转化思想在立体几何中的应用20（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD（1）求证：CD平面PAD；（2）求证：平面PAB平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）只要证明CD垂直与平面PAD的两条相交直线；（2）结合已知和（1）得到PA面PDC，再利用面面垂直的判定定理证明；（3）结合（1，2）利用线面垂直和面面垂直
25、的判定得到其余的垂直平面解答：（1）证明：底面ABCD是正方形，CDAD，侧面PAD底面ABCD，PA=PD过P作PEAD，垂足为E，PE底面ABCD，PECD，ADPE=E，CD平面PAD；（2）证明：由（1）可知CD平面PADCDPA又PA=PD=AD，PAD是等腰直角三角形，且APD=90，即PAPDCDPD=D，且CD、PD面PDCPA面PDC又PA面PAB，面PAB面PDC（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有平面PCD平面PAD，平面ABCD平面PAD，平面PAB平面PAD点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及面面垂直的
26、判定，关键是将线面关系和面面关系转化为线线关系解答21（15分）在数列an中，已知a1=1，且an+1=（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列an的通项公式；（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想考点：数学归纳法；数列递推式 专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；（2）由a1=，a2=，a3=，a4=，即可猜想得到通项公式；（3）利用（2）的猜想an的表达式，运用数学归纳法证明注意两个步骤缺一不可，特别必须运用假设证明n=k+1，也成立解答：解：（1）a1=1，an+1=，a2=，a3=，a4= （2）由（1），a1=
27、，a2=，a3=，a4=，可以猜想an= （3）用数学归纳法证明：）当n=1时，a1=1，所以当n=1时猜想成立 ）假设当n=k（kN*）时猜想成立，即ak=，当n=k+1时，ak+1=，所以当n=k+1时猜想也成立由）和）可知，猜想对任意的nN*都成立 所以an=点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22（15分）已知函数f（x）=ax+（a1）（1）试比较f（3）与f（2），f（0）与f（1）的大小；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根考点：指数函数综合题 专题：函
28、数的性质及应用；导数的综合应用分析：（1）求出f（3），f（2），f（0），f（1），并根据指数函数的单调性即可比较f（3）与f（2），f（0）与f（1）的大小；（2）求f（x），并判断f（x）的符号，从而写出f（x）的单调递增区间；（3）假设f（x）有负数根，也就是存在x0，使得，然后将该方程变成：，由0ax1便得到，解该不等式得到的x的范围应该和x0矛盾，从而说明假设不成立解答：解：（1）f（3）=，f（2）=a2+4；a1；a3a2，；f（3）f（2）；同理可得f（0）f（1）；（2）f（x）=0；函数f（x）的单调递增区间为（，1），（1，+）；（3）证明：假设f（x）=0有负数根；即存在x0，使成立；0ax1；，解得，与x0矛盾；假设不成立；即方程f（x）=0没有负数根点评：考查指数函数的单调性，求导数，并判断导数符号从而求出函数的单调区间的方法，以及利用反证法证明问题时找矛盾的方法与过程