1、第三节函数的奇偶性与周期性考情展望1.考查函数奇偶性的判断.2.利用函数的奇偶性、周期性求函数值.3.与函数的对称性相结合，综合考查知识的灵活应用能力一、奇(偶)函数的定义及图象特征1奇、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数f(x)f(x)；(2)f(x)为奇函数f(x)f(x)2奇、偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称1奇、偶函数对称区间上的单调性奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性2奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)0.二、周期性1周
2、期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：T0；f(xT)f(x)对定义域内的任意x都成立2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.(4)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则：yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数(5)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|.1已知f (x)ax
3、2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B. C. D【解析】依题意b0，且2a(a1)，b0且a，则ab.【答案】B2下列函数为偶函数的是()Aysin x Byx3Cyex Dyln【解析】由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数【答案】D3已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1 B0 C1 D2【解析】f(x4)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数f(8)f(0)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(8)f(0)0，故选B.【答案】B4若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a_.【解析】因为y(
4、x1)(xa)x2(1a)xa由题意可知1a0，即a1.【答案】15(2013山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)()A2 B1 C0 D2【解析】利用奇函数的性质f(x)f(x)求解当x0时，f(x)x2，f(1)122.f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.【答案】D6(2013北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 Dylg|x|【解析】A项，y是奇函数，故不正确；B项，yex为非奇非偶函数，故不正确；C，D两项中的两个函数都是偶函数，且yx21在(0，)上是减函数，ylg|x|在(0，)上是增函数，
5、故选C.【答案】C考向一 016函数奇偶性的判断判断下列各函数的奇偶性：(1) f(x)(x1) ；(2)f(x)；(3)f(x).【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉，分段函数要分情况判断【尝试解答】(1)由得，定义域为(1,1，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由得，定义域为(1,0)(0,1)x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为：(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)
6、；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数规律方法11.本例第(1)题，若盲目化简：f(x)将扩大函数的定义域，作出错误判断.第(2)题易忽视定义域无从入手.2.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(x)与f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断.考向二 017函数奇偶性的应用(1)设函数f(x)为奇函数，则实数a的值为_(2)已知yf(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的解析式为_(3)设偶函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)0，则不
7、等式0的解集为_【思路点拨】(1)利用奇函数定义或特值法求解(2)设x0，则x0，借助偶函数定义求其解析式(3)分“x0”和“x0”两类分别解不等式，取并集即可【尝试解答】(1)方法一：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即，a1.方法二：f(x)为奇函数，f(1)f(1)0，即0，a1.(2)设x0，则x0，f(x)(x)22(x)x22x.又yf(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(x)，f(x)x22x(x0)f(x)(3)因为f(x)为偶函数，所以不等式0，等价于0.当x0时，0等价于f(x)0，又f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)0.所以f(x)0的解集为x|0x2当x0时，
8、0等价于f(x)0，又f(x)在(，0)上为增函数，且f(2)f(2)0.所以f(x)0的解集为x|x2综上可知，不等式的解集为x|x2或0x2【答案】(1)1(2)f(x)(3)x|x2或0x2规律方法2(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式，常利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式.(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.对点训练(1)(2014郑州模拟
9、)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，则f(2)()A2B.C.Da2(2)已知定义在R上的奇函数满足f(x)x22x(x0)，若f(3a2)f(2a)，则实数a的取值范围是_【解析】(1)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、联立，g(2)a2，f(2)a2a2.(2)当x0时，f(x)x22x(x1)21函数f(x)在0，)上为增函数又函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数f(x)在R上是增函数由f(3a2)f
10、(2a)得3a22a.解得3a1.【答案】(1)B(2)(3,1)考向三 018函数的周期性及其应用设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 015)【思路点拨】(1)证明f(x4)f(x)(2)先求2,0上的解析式，再求2,4上的解析式；(3)根据周期性求解【尝试解答】(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.
11、又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.所以x2,4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 015)f(0)f(1)f(2)f(3)010(1)0.规律方法3(1)本例(2)在求解中先借助周期把区间2，
12、4转换到区间2，0上，然后借助奇函数实现2，0与0，2间的转化.(2)证明一个函数f(x)是周期函数的关键是借助已知条件探寻使“f(xT)f(x)”成立的非零常数T.(3)周期性与奇偶性相结合的综合问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号的作用.对点训练(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上是减函数，那么f(x)在1,3上是()A增函数B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 013)f(2 015)_.【解
13、析】(1)由f(x)在1,0上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在0,1上是增函数由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)，故2是函数f(x)的一个周期结合以上性质，模拟画出f(x)的部分图象，如图由图象可以观察出，f(x)在1,2上为减函数，在2,3上为增函数(2)当x0时，f(x2)，f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一个周期f(2 013)f(1)log221，f(2 013)f(2 013)1，f(2 015)f(3)1，f(2 013)f(2 015)0.【答案】(1)D(2)0思想方法之三利用奇偶性求值“方程思想”闪光芒方程思想就是通
14、过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、或者构造方程(组)，通过求方程(组)、或讨论方程(组)的解的情况，使问题得以解决在函数的奇偶性中，方程思想的具体体现如下：(1)函数奇偶性的判断，即验证等式“f(x)f(x)0”是否对定义域中的每个x均成立(2)求解析式，在同时含有f(x)与f(x)的表达式中，如bf(x)f(x)a(ab0)中，常用“x”代式子中的“x”，重新构建方程，联立求解f(x)(3)求值，已知f(a)的值探求f(a)的值，其方法如同(2)1个示范例1个对点练(2013湖南高考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于
15、()A4B3C2D1【解析】f(x)是奇函数，f(1)f(1)又g(x)是偶函数，g(1)g(1)f(1)g(1)2，g(1)f(1)2.又f(1)g(1)4，f(1)g(1)4.由，得g(1)3.(2013重庆高考)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)()A5B1C3D4【解析】因为log210与lg 2(即log102)互为倒数，所以lg(log210)与lg(lg 2)互为相反数不妨令lg(log210)x，则lg(lg 2)x，而f(x)f(x)(ax3bsin x4)a(x)3bsin(x)48，故f(x)8f(x)853，故选C.【答案】C