1、模块素养检测(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.复数z=(i为虚数单位)的虚部为()A.1B.-1C.1D.0【解析】选B.因为z=-1-i,所以复数z的虚部为-1.2.当前,国家正大力建设保障性住房以解决低收入家庭住房困难的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户,假设第一批保障性住房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题,若采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为()A.40B.30C.20D.36【解析】选A.9
2、0=40.3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.既不互斥又不对立事件【解析】选C.甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件.4.一组数据中的每一个数据都乘以2,再减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是
3、()A.40.6,1.1B.48.4,4.4C.81.2,44.4D.78.8,75.6【解析】选A.设原来数据的平均数和方差分别为和s,则解得5.已知点O,N在ABC所在平面内,且|=|=|,+=0,则点O,N依次是ABC的()A.重心外心B.重心内心C.外心重心D.外心内心【解析】选C.由|=|=|知,O为ABC的外心;由+=0,得=+,取BC边的中点D,则=+=2,知A,N,D三点共线,且AN=2ND,故点N是ABC的重心.6.某产品的设计长度为20 cm,规定误差不超过0.5 cm为合格品,今对一批产品进行测量,测得结果如下表:长度(cm)19.5以下19.520.520.5以上件数5
4、687则这批产品的不合格率为()A.B.C.D.【解析】选D.P=.7.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,9);(1,i)(i=0,1,2,9);(2,i)(i=0,1,2,9);(9,i)(i=0,1,2,9).故共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9),共有9种.故所求概率为.【补偿
5、训练】在等腰RtABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为()A.30B.60C.90D.120【解析】选C.如图所示,由AB=BC=1,ABC=90,得AC=.因为M为AC的中点,所以MC=AM=.且CMBM,AMBM,所以CMA为二面角C-BM-A的平面角.因为AC=1,MC=AM=,所以CMA=90.8.已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内,当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于4+4,则球O的体积等于()A.B.C.D.【解析】选B.由题意可知四棱锥S-ABC
6、D的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内,当体积最大时,可以判定该棱锥为正四棱锥,底面在球大圆上,可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r,且四棱锥的高h=r,进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为r的正三角形,底面为边长为r的正方形,所以该四棱锥的表面积为S=4(r)2+(r)2= 2r2+2r2=(2+2)r2=4+4,因此r2=2,r=,所以球O的体积V=r3=2=.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列说法:一组数据不可能有两个众
7、数;一组数据的方差必须是正数;将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后,方差恒不变;在频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的有()A.B.C.D.【解析】选AB.若一组数据中,有两个或几个数据出现的次数相同且最多,则这几个数据都是这组数据的众数.可见,一组数据的众数可以不唯一,即错误.一组数据的方差是标准差的平方,必须是非负数,即错误.根据方差的定义知正确.根据频率分布直方图的定义知正确.10.下列事件中,是随机事件的有()A.从集合2,3,4,5中任取两个元素,其和大于7B.明年清明节这天下雨C.物体在地球上不受地球引力D.盒子中有5个白球,2个红球,从中任取
8、3个球,则至少有1个白球【解析】选AB.A,B是随机事件;C是不可能事件;D是必然事件.11.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则下列结论不正确的是()A.PBADB.平面PAB平面PBCC.直线BC平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45【解析】选ABC.选项A,B,C显然错误.因为PA平面ABC,所以PDA是直线PD与平面ABC所成的角.因为ABCDEF是正六边形,所以AD=2AB.因为tanPDA=1,所以直线PD与平面ABC所成的角为45,D正确.12.如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧
9、棱PA,PB的中点,判断下列结论正确的是()A.PC平面OMNB.平面PCD平面OMNC.OMPAD.直线PD与直线MN所成角的大小为90【解析】选ABC.连接AC,易得PCOM,所以PC平面OMN,结论A正确.同理PDON,所以平面PCD平面OMN,结论B正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PCPA,又PCOM,所以OMPA,结论C正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MNAB.又四边形ABCD为正方形,所以ABCD,所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角,即为PDC.又三角形PDC为等边三角形,所以PDC=60,故D
10、错误.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.a为正实数,i为虚数单位,=2,则a=_.【解析】=1-ai,则=|1-ai|=2,所以a2=3.又因为a为正实数,所以a=.答案:14.如图所示,是在某一年全国少数民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈运动员打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为_,方差为_.【解析】七位评委为某民族舞蹈运动员打出的分数是:79,84,84,86,84,87,93,去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据是84,84,86,84,87,平均分等于(84+84+86+84+87)=85,则方差s2=
11、3(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2=1.6.答案:851.615.已知a,b表示不同的直线,表示不重合的平面.若=a,b,ab,则;若a,a垂直于内任意一条直线,则;若,=a,=b,则ab;若a,b,ab,则.上述命题中,正确命题的序号是_.【解析】对可举反例,如图,需b才能推出;对可举反例说明,当不与,的交线垂直时,即可知a,b不垂直;根据面面、线面垂直的定义与判定知正确.答案:16.已知两点A(-1,0),B(-1,).O为坐标原点,点C在第一象限,且AOC=120,设=-3+(R),则=_.【解析】由题意,得=-3(-1,0)+(-1,)=(3-,),因为AOC=12
12、0,所以=-,即=,解得=.答案:四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)青海玉树发生地震后,为了重建,对某项工程进行竞标,现共有6家企业参与竞标,其中A企业来自辽宁省,B,C两家企业来自山东省,D,E,F三家企业来自河南省,此项工程需要两家企业联合施工,假设每家企业中标的概率相同.(1)列举所有企业的中标情况;(2)在中标的企业中,至少有一家来自山东省的概率是多少?【解析】(1)所有企业的中标情况为:AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF.共15种.(2)在中标的企业中,至少有一家
13、来自山东省的情况有:AB,AC,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,共9种,在中标的企业中,至少有一家来自山东省的概率是P=.18.(12分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a-2bsin A=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=5,且ac,b=,求的值.【解析】(1)因为a-2bsin A=0,所以sin A-2sin Bsin A=0,因为sin A0,所以sin B=,又B为锐角,所以B=.(2)由(1)知,B=,b=,所以根据余弦定理得7=a2+c2-2accos ,整理得(a+c)2-3ac=7,又a+c=5.所以ac=6,又ac,所以a=3
14、,c=2,于是cos A=,所以=|cos A=2=1.19.(12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.【解析】(1)连接AC1交A1C于点F,连接DF,则F为AC1的中点.又D是AB的中点,则BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.因为AC=CB,D为AB的中点,所以CDAB.又AA1AB=A,所以CD平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2得AC
15、B=90,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DEA1D.所以=1.20.(12分)某市据实际情况主要采取以下四种扶贫方式:以工代赈方式,指政府投资建设基础设施工程,组织贫困地区群众参加工程建设并获得劳务报酬,整村推进方式,指以贫困村为具体帮扶对象,帮扶对口到村,资金安排到村,扶贫效益到户,科技扶贫方式,指组织科技人员深入贫困乡村实地指导、技术培训等传授科技知识,移民搬迁方式,指对目前极少数居住在生存条件恶劣、自然资源贫乏地区的特困人口,实行自愿移民.该市为了2020年更好地完成精准扶贫各项任务,2020年初在全市贫困户(分一般贫困户和“五特”户两类)中随机抽
16、取了5 000户就目前四种扶贫方式进行了问卷调查,支持每种扶贫方式的结果如表:调查的贫困户支持以工代赈户数支持整村推进户数支持科技扶贫户数支持移民搬迁户数一般贫困户1 2001 600b200五特户(五保户和特困户)100ac100已知在被调查的5 000户中随机抽取一户支持整村推进的概率为0.36.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的贫困户中抽取50户进行深入访谈,问应在支持科技扶贫户数中抽取多少户?(2)虽然“五特”户在全市的贫困户所占比例不大,但本次调查要有意义,其中这次调查的“五特”户户数不能低于被调查总户数的9.2%,已知b1 530, c58,求本次调查有意义的概率是多少?【解
17、析】(1)因为支持整村推进户数为5 0000.36=1 800(户).所以b+c=5 000-1 200-100-1 800-300=1 600(户).所以应在支持科技扶贫户数中抽取的户数为:1 600=16(户).(2)a=1 800-1 600=200,因为五特户户数不能低于被调查总户数的9.2%,所以即5 0009.2%=460(户),所以c60有意义,又b1 530,c58,b+c=1 600,b,c情况列举如下:(1 530,70),(1 531,69),(1 532,68),(1 533,67),(1 534,66),(1 535,65),(1 536,64),(1 537,63)
18、,(1 538,62),(1 539,61),(1 540,60),(1 541,59),(1 542,58)共13种情况,其中使本次调查有意义的情况有11种.所以本次调查有意义的概率P=.【补偿训练】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:分组频数频率10,15)100.2515,20)25n20,25)mp25,30)20.05合计M1 (1)求出表中M,p及图中a的值;(2)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间10,15)内的人数.【解析
19、】(1)由分组10,15)内的频数是10,频率是0.25知,=0.25,所以M=40.因为频数之和为40,所以10+25+m+2=40,解得m=3,故p=0.075.因为a是对应分组15,20)的频率与组距的商,所以a=0.125.(2)因为该校高一学生有360人,分组10,15)内的频率是0.25,所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为3600.25=90.21.(12分)在锐角ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csin A.(1)确定角C的大小;(2)若c=,求ABC周长的取值范围.【解析】(1)已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,由a=2cs
20、in A,得sin A=2sin Csin A,又sin A0,则sin C=,所以C=或C=,因为ABC为锐角三角形,所以C=舍去,所以C=.(2)因为c=,sin C=,所以由正弦定理得:=2,即a=2sin A,b=2sin B,又A+B=-C=,即B=-A,所以a+b+c=2(sin A+sin B)+=2sin A+sin+=2+=3sin A+cos A+=2+=2sin+,因为ABC是锐角三角形,所以A,所以sin1,则ABC周长的取值范围是(3+,3.22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=
21、60,N是PB的中点,E为AD的中点,过A,D,N的平面交PC于点M.求证:(1)EN平面PDC;(2)BC平面PEB;(3)平面PBC平面ADMN.【证明】(1)因为ADBC,BC平面PBC,AD平面PBC,所以AD平面PBC.又平面ADMN平面PBC=MN,所以ADMN.又因为ADBC,所以MNBC.又因为N为PB的中点,所以M为PC的中点,所以MN=BC.因为E为AD的中点,DE=AD=BC=MN,所以DEMN,所以四边形DENM为平行四边形,所以ENDM.又因为EN平面PDC,DM平面PDC,所以EN平面PDC.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形,且BAD=60,E为AD中点,所以BEAD.又因为PEAD,PEBE=E,所以AD平面PEB.因为ADBC,所以BC平面PEB.(3)由(2)知ADPB.又因为PA=AB,且N为PB的中点,所以ANPB.因为ADAN=A,所以PB平面ADMN.又因为PB平面PBC,所以平面PBC平面ADMN.