1、全国教育科学“十五”规划重点课题“数学教学效率论”（EHA030431）子课题“数学解题教学效率的研究”论文本文经总课题组推荐发表在江苏大学举办的数学教育研究2006年第1期建构“选择探究发展”的解题教学模式，提高中学数学的解题教学效率邱卫平 （广东省深圳外国语学校 邮编 518028）摘 要：从心理学的角度分析学生的学习特点和知识迁移规律，在此基础上提出“选择探究发展”的解题教学模式，并进一步探索如何运用这种解题模式提高数学教学效率。关键词：选择 数学教学 效率一 “ 选择探究发展”解题教学模式的提出综观中学数学教学，几乎每一节课都要进行解题教学。要提高中学数学教学的质量和效率，建构解题教学
2、模式就是重要的工作之一。班级教学制虽然能系统高效地传授知识，确保教学任务的完成和正规训练的实施，但是学生对每节课所规定的教学内容与给定的教学方法不会都感兴趣，因此必然会降低学生学习的“投入率”。由于“教师的任务导向和学生投入率与学生成功率密切相关”，【1】 所以要根据教学要求和学生的实际，及时对教学内容和教学方法作适当的选择。“一刀切”的定量教学会给某些学生带来“吃不饱”或“吃不了”的问题。要在教学中选择“量”上须把握好“度”；选择教法上除了注意共性方面的能力培养外，还要区别对待、分好层次，实行“多样化教学”。只有使学生能从自己的当前理解水平的内容和方法为起点开始学习，才能有效深入探究，才有提
3、高学生成就的基础，【2】 才能让学生通过有效学习过程去获得自身的发展。通过加强素质教育来提高学生的应试水平。通过提高数学解题教学效率的同时，注重教给学生数学的精神、思想和方法。再从唯物辩证法等方面思考数学解题教学，需要建构“选择探究发展”的数学解题教学模式。虽然，数学教学给出了许多解题模式，例如，多项式的因式分解中，“一提，二套，三交叉，四分组”是解这类题的步骤模式；解一元二次方程，用其求根公式去解是解这类题的算法模式；求圆柱侧面上两点的最短路程，先将圆柱侧面展开，再求这两点的距离，是解这类题的思考方法模式；等等。注重使用这些具体模式解题，就象下棋运用博弈的定势一样，有助于提高解题的效率。“选
4、择探究发展”的数学解题教学模式，有别于这些具体的模式，而是具有一般指导意义的理性的模式。二“选择探究发展”解题教学模式的依据生物长期对生存环境的不断选择，使物种进化。人类长期对社会环境的不断选择，使社会发展。中学生们受社会竞争影响，必然带着竞争意识去选择自己觉得有用的东西来学习。“需要”成为“选择”的基础，选择带来学习的兴趣和持久力，学习的内驱力会促进对问题的探究。选择要紧密结合教学实际辨证地实施。学习的动力与奖励、竞争之类的外在刺激有关，但不宜过分依赖。“学习的最好动机乃是对材料本身发生兴趣”（布鲁纳）。数学解题教学以课本为基础，选择典型新颖、综合有趣、益智育能的数学题进行解题教学是十分有益
5、的。 从桑代克为代表的SR范式理论来说，对学习者的刺激，是一种教的选择。学习者受刺激后的反应，是被刺激后产生的一种需要（被动或主动的），是一种学的选择。教学选择和学习选择相互协调，不断强化，形成了学习。 学生的学习选择，并非仅对学习内容择其善者而习之，也并非在教的刺激下总是一种机械被动的接受反映，还应含有学习者主动决策的内化的形成选择过程。皮亚杰认为认知的形成与发展是一种建构过程。这个过程涉及图式、同化、顺应与平衡。【3】 图式与生物适应环境所具有的生物结构一样，它适应心理的发展并随心理发展而变化。它本身可视为一种选择后的结果，还可简单地看作个体所拥有的概念或类型。它对输入的刺激进行加工和鉴别
6、，进而把不同的刺激物加以区分和概括。同化是一种认识过程，人们通过同化把新的刺激物、知识整合到原有的图式或行为模式之中。顺应是新图式创造或旧图式改变的认识过程。面临新的刺激，首先进行同化选择，试图把新刺激物同化到原有的认识结构中去。若不存在能同化的图式，于是便进行顺应选择，创造一个能容纳这一新刺激的新图式，或改造一个原有图式以此包容新刺激物。同化增加图式的量、顺应则改变图式的质。同化与顺应是个体认知发展的两个主要过程。同化与顺应的“均衡”就是平衡。同化与顺应也是一种协调选择。探究本身就是一种主动寻求新的刺激，然后进行一系列同化、顺应和平衡的高一级选择。所谓探究，就是探索研究，即观察与思维。探究是
7、发散性思维与收敛性思维良好的结合选择。探究是思维中选择的进一步深化。选择和探究的目的就是促使学生的发展。“发展”就是在通过选择与探究获得相对稳定的建构“体”的基础上，进一步选择与探究形成或有利于形成更高一级的建构“体”的良性变化。学生的学习过程，既有“黑箱”外的选择，又有“黑箱”内的选择。前者提供了输入黑箱的信息，后者是黑箱内的对信息的分析、加工、处理、储存等。前者可直接把握，后者只能通过“黑箱”的输出信息间接地把握。教学的关键就是教师要优化学生学习的外部选择去促进学生学习的内部选择，进而促使学生进一步的探究，获得进一步的发展。 世界上的事物相互联系、运动变化的，矛盾的双方依一定条件相互转化。
8、从哲学对具体各科的指导意义看，数学教学也离不开唯物辩证法。要依据教学内容、教学要求和学生的实际，去辨证地选择相应的教法。波利亚的怎样解数学题，奥加涅相等学者的中小学数学教学法，以及国内许多学者的著作中都提出了许多很好的解数学题的模式，都可以根据数学解题教学的实际选择其相应部分作为其教学模式。为叙述之便，以“选择探究发展”作为数学解题教学模式。用“选择”体现数学解题教学的辨证思维观，体现教与学的灵活性与实效性。用“探究”来反映学生亲历探索，寻求有效的解决问题的知识和方法。用“发展”来阐明教与学的目的是以培养能力，去提高适应新环境的适应水平。实践“选择探究发展”的教学模式，仍须以教师为主导，学生为
9、主体，训练为主线，思维为主攻。三 “选择探究发展”解题教学模式的实践解题教学的重要目的，是帮助学生在解题中加强对所学知识的理解，培养分析问题和解决问题的能力。解题的本质就是把题目的条件信息和结论信息建立科学的联系。研究数学解题教学，离不开研究怎样发掘题目的信息并做出选择；怎样选择解题依据和解题方法，去实现条件信息和结论信息建立科学联系。数学解题教学一般围绕单元知识教学（多见于新课）展开，或围绕综合运用知识教学（多见于复习课）展开。为提高这两种教学环境的解题教学效率，从怎样使学生理解知识，学会解题分析来进行解题教学研究，获得了如下肤浅的认识。只为表述方便，把同一知识内容的题叫做同类题；把同一本质
10、表述的题叫做同质题；把知识或方法关联多的题叫做关联题。（一）从纵向选择与教学内容相关的同类数学题引导学生探究，有利于提高解题教学效率。同类题的选择要新颖、典型，一般从例题出发，选择出由易到难的题列，最好是解下一题能利用上题的解题信息。新颖能引起学生兴趣。典型能突出重点，提高效率。由易到难且相关性强，能适合学生的心智水平，使学生在步步深入的思考中获取同类题的解题精髓。教法上以讲清例题为基点，注重引导学生探究与例题相关的差异，使学生掌握同类数学题系列的解题分析与解答模式。从纵向的角度研究怎样解题，来培养学生的解题能力。例如在两角和与差的正弦与余弦中，从下列两个例题（即题1与题2）出发进行探究：题1
11、：不查表求sin75的值 题2：已知 cosj =，j（0，），求sin（j - ）学生运用所学公式Cab和Sab，解此两题轻而易举。下面引导学生做如下工作： 从题型的一般性思考，引导学生探究下列数学题的解题模式。题3： 已知 sina =,cosb = , a是第一象限角，0 b, 求sin (a+b)的值解题模式：把sin(a+b)按公式展开。缺什么先求出什么。然后代入展开式计算。按逻辑顺序写出解答过程。最后让学生探究：可以变换哪些条件或结论，对应的解答方法和书写过程怎样；特别是取消角的取值范围后，解题应作怎样的处理。 从公式的字母意义思考，引导学生探究下列数学题的解题模式。 题4：已知s
12、in(a+b)=, cos(a-b)=, a,b 都是锐角，求 sin2a,cos2b 之值关键是让学生探究出sin2a = sin(a+b)+(a-b)，然后仿上题解答，让学生变换有关的条件或结论，明确其解答模式。 从突破思维迁移定势障碍，增强解题的灵活性思考，引导学生探究下列数学题的解答。题5：已知cos (a+b) = , sina = , a,b 都是锐角，求sinb由于思维定势作用，学生又会按公式Sa+b 展开sin (a+b)，在展开式中就含有五个量，而由题设只能获知其中的三个，故此路不通。要克服由思维定势带来的解题障碍，就要启发学生观察结论中的b，和条件中的a+b与a之间的联系，
13、使之获得sinb = sin(a+b)- a，抓住了解本题的关键，便可利用前述的解题模式解之。 究其思维障碍原因，解“题5”时是按照前4题的解答模式思考，建构了从结论导出的“图式”，与从条件导出的“图式”互异，不能实现“同化”。要消去解此题的思维障碍，可启发学生对数学题之间进行比较分析，把握本质，区别异同。让学生认识到，只有同种问题，才能使用同一种解题模式。 从扩大解题教学的战果思考， 引导学生探究下列数学题的解答。 题6： 已知：求： sin (x - y)若展开sin (x - y) 有sinx cosy cosx siny，则它涉及“四个量”，而题设只给出了两个方程，不能由解方程组获得s
14、inx, cosy, cosx, siny的值。 转向去求sinxcosy与cosxsiny这两个积的值也不行。 于是从整体上考虑， 若先求出了cos (xy)的值，则运用同角公式就能求出sin(xy)的值。这就需要先求出cosxcosy + sinxsiny这个整体的值。显然由 与的平方和可立即求得。当然还不能满足“题6”的解答，还需让学生分别对“题6”进行题型的一般化和特殊化研究，得出并掌握其解题模式。 我做了几次教学试验。一种是把上述同类题放在一起，让学生一次解答完。另一种是把上述同类题镶嵌在其他习题中，让学生分次解答完。经过相关考试，接受前一种试验者的成绩稍高。之所以前者解题教学效果稍
15、好，是因为前者能更好的体现相互间的逻辑联系，能更利于比较分析，分清本质的异同。在“求联，求变”【4】上强化得更好。（二） 从横向选择与教学内容相关的同质数学题引导学生探究，有利于提高解题教学效率。教学中，经常遇到解题犯难的学生，对其给予问题的同质转化的提示，他们就能立即做出解答。这说明重视同质数学题的解题教学，有利于提高解题效率。教法上从例题的本质出发，引导探究与之相关的同质题的表述差异，和解题模式。从横向的角度研究怎样解题，来培养学生的解题能力。例如：题7： 把20个相同的小球放入编号为1，2，3的三个空盒内，使每个盒子里的小球个数不少于它们的编号数。问有多少种放法？关键是让学生明确20个小
16、球相同，放入编号为1，2，3的 三个空盒内，与顺序无关，属于组合问题。为消去编号数带来的麻烦，在编号为1，2，3的盒子里事先分别置入0，1，2个小球。于是只要把剩下的17个相同小球，分成三组，每一组至少有一个小球，就使每一种分法都可满足题目要求，求有多少种这样的不同分法。对这个简化了的问题可采用同质表述：先把17个相同小球排成一排，再用两块隔板插入它们之间的 16个空挡中的两个不同的空挡，有多少种插法？由于交换隔板后效果相同，这个问题相当于求从16个元素中取出2 个元素的组合数（有一次同质转化）。易得“题7”的解为C种放法。不改变题目的本质，灵活的变换题目的说法，实际是对解题进行同质选择，它能
17、增强学生解题的灵活性，发展学生的探究能力。解决本题之后，再让学生采用增减题目的条件去获得新题，然后再对照本题寻找差异，探究解法。例如把“题7”的“不少于它们的编号数”的条件变为“至少放一个小球”，可得“题8”题8：把2 0个相同小球放入编号为1，2，3的三个空盒内，使每个盒子至少放有一个小球，问有多少种方法？（答案C种）对“题8”，由于每种方法三个盒子的小球都是正整数，其和为20，与不定式方程联系，“题8”又可同质叙述为“题9”：题9：求x1 + x2 + x3 = 20的正整数解的个数。利用同质转化，由“题8”又可获得“题9”的另一种解答模式。从教学试验获知，学生解数学题的思维障碍，常源与语
18、义障碍（对事实，概念不明确），和解题策略障碍（不会选择各种有效知识和方法解决问题）。在解题教学中加强“同质”选择的变式教学，注意明确题中的“同质”词义，并与相关的非同质词义区别，有利于消除相关的思维障碍。解题的本质又是连续“化简”。【5】 解题教学就要多注意数学题的等价转化。“同质”选择既有利于解题“归纳”，又有利于解题策略的确定。在数学解题教学中不失时机的对学生进行同质转化训练，有利于培养学生的探究能力和优良的思维品质，促进学生的学习发展。(三) 从多向选择与教学内容相关的关联数学题引导学生探究，有利于提高解题教学效率一般来说，数学题越难解，它综合的知识和方法就越多，它的解题的技巧也就越强。
19、这就要注重选择典型的关联数学题，教会学生怎样发掘题内所含的各种关联信息，和怎样从多种联系中思考确定关联信息的转化与利用，学会有效解题。通过对少量的典型题解答，达到触类旁通，远离题海战术的目的。题10： 如图1， 已知 ABC内接于O，BC是直径，点P是BC延长线上的一点，PA切O于点A，PA = 12，PC = 8，求tan PAC的值 此题的目标是求tanPAC的值。先让学生思考实现这个目标需要什么。后让学生思考这道题的条件能给出什么。再让学生思考怎样从条件信息和结论信息中，分析筛选出有效信息来建立条件信息和结论信息的科学联系。通过教学的对比试验，对于关联数学题的解答，选择这种解题模式的有效
20、性好，普遍被学生采用。解此题的分析要点是：不便直接求出PAC的度数。也不便通过作辅助线构造出含PAC的直角三角形后，直接利用已知线段PA与PC考虑到直径所对得的圆周角是直角，切线垂直于过切点的半径，同圆的半径相等，易证PACBAOB。又等角的三角函数值相等，这样可把求tanPAC的问题转化为在RtABC中求tanB而tanB是一个比值，相似三角形的对应边成比例，也含有比值，于是转证PACPBA盯住“”这个目标，易推出=再由切割线条件又可以求出PB的长，问题获解。在上题的解题分析中，充分利用了同一道题的许多关联信息，实现了由未知向已知的转化。在解题教学中，还有许多题与题之间的关联信息可以利用，能
21、促进学生解题的正迁移。过去许多学生是在解证大量的题之后，领悟到题与题之间的关联信息可以怎样利用。与其让学生被动消化，不如让学生主动出击。在适当的教学环境下，引导学生以某一典型的常规题为依托，从创造思维角度，寻求必然结果。让学生明确每一探究获得的规律是在什么条件下产生，有怎样的结论，规律存在的理论依据是什么。再让学生编制出相应的数学题。显然，学生对这些题的解答，以及题与题之间的联系就非常清楚了。既培养了学生的探究能力，提高了解题效率，又解决了“主导”与“主体”关系问题。特别是在复习课中使用这种教学模式，可系统复习相关知识和方法。例如，在“直线与平面”的复习中，选择题11：如图2，已知矩形ABCD
22、，PA平面AC，点M、N、L分别是BC、PD、PA的中点求证MN/BL 从“题11”中图形的画出顺序，由简到繁地引导学生运用所学知识去探求相应图形下的必然规律，编制出相应的数学题，直到获得“题11”及其证明然后放手让学生按此法探究其它具体操作是：（1） 如图3，在矩形操场ABCD的顶点A处立一旗杆PA要求PA与地面ABCD垂直，怎样立？依据是什么？ 结论：让旗杆PA分别与AB 、AD垂直依据：PAAB，PAAD，ABAD = A PA平面AC（2） 对（1），如图3，取BC之中点M，连结AM，问PA AM吗？为什么？结论：PA AM依据：PA平面AC ,AM 平面AC PA AM编题：已知PA
23、 平面ABCD，点M为BC的中点，求证PA AM （3） 对（1），如图4，分别连结PB、PD， 问CD与平面PAB有什么关系？CD与平面PAD有什么关系？为什么？ 结论1：CD / 平面PAB依 据： 编题：如图4，已知PA 矩形ABCD所在平面，求证CD / 平面PAB 结论2：CD平面PAD依 据： .编题：如图4，已知矩形ABCD，PA平面AC ，求证CD 平面PAD（4） 对（3），如图5，分别取BC、PD、PA的中点M、N、L，线段LN与BM有什么位置关系和大小关系？为什么？ 结论：LN BM , LM = BM依据：点L、N分别是PA、PD的中点编题：如图5，已知ABCD是矩形，
24、PA平面AC，点M、N、L分别是BC、PD、PA的中点， 求证L N BM， L N = BM（5） 对（4），如图6，M N与平面PAB有什么关系？为什么？结论：M N平面PAB依据：连结LB，由（4），已证LN B M，LN BM； 编题：即“题10”.在上述教学过程中，陈述依据时，先让学生完整地叙述相关定理。尽可能复习好所学知识。学生每编一道数学题，就让他们快速地自述其解答过程。说得出，写下来就容易了。教学中先引导探索，做好示范，再放手让学生独立或与人合作去深入探索，最后教师讲评与小结。为节约时间，关于所用到的图形、结论、依据、以及解题范例或过程采用投影给出。（6） 继续引导学生探究，对
25、（5）的结论，条件可以减弱为：“PA是平行四边形ABCD所在平面的一条斜线，斜足为A.” 又在（5）的原条件下，可获得结论“平行四边形BMNL是矩形”。分别指出依据，编制出数学题。（略） （7） 让学生对（5）自由连线段，取中点等等。再利用相关定义，定理探究图形中某条线段或某个平面与其他线段或平面之间的非平凡的必然关系及其所成的角。要求学生每探究一个非平凡的结论，都要叙述简明，依据准确，编题合理。放手让学生探究之后，再按要求汇报“成果”。集体作出评价后教师总结。为节约篇幅，只对上述活动中所编制的部分数学题例举如下。 编题：已知PA矩形ABCD所在平面，点E、F分别是AB、PC的中点，G为 F在
26、平面AC上的射影，求证平面EFG 平面PAB 编题：已知 矩形ABCD，PA 平面AC，过点A 作AEPD于E，作AF PC于F，连结EF，求证 PD平面AEF （8） 进一步要求学生对自己编制出的数学题进行同质变换（如放在四棱锥或圆柱体中表明上述几何关系），或进行同类变换（如把编题中的“矩形”换成“正方形”或“平行四边形”等）。教会学生在各种形式下如何探究，促进学生的自我发展。选择关联数学问题引导学生探究，“所须知识的广度和深度以及一系列要选择的问题，应当作为研究问题解答工作的主要标准牢记在心。我们应当考虑这样一种可能，即提出一系列简短而又能迅速完成的问题，每一个问题都引导出一个更难的问题，
27、直到最初提出的问题解答工作得到解决,”【6】 使学生获得成功的喜悦。学生学习数学的发展，依赖于提高他们的学习兴趣、完善数学知识结构、培养数学思维能力和解决数学问题的能力。通过对数学题的研究与编制，能较好地解决上述几个问题。学生在解数学题的过程中，常存在数学思维中的程序障碍，（颠倒运算顺序，改变答题过程中合理的逻辑顺序，等），由于编题前学生充分探究了“在什么条件下，依据什么，才有怎样的结论，又如何表述？”因此能较好地解决“程序障碍”的问题。学生通过亲历探究，可以增强自信心，克服望题生畏的情绪。学生知道了数学题从何而来，自然明白如何去解。对领会数学精神、思想方法有益。也较好地解决了数学解题教学以少
28、胜多的问题。既能提高解题效率，又为实现学生的充分发展创造了有利条件。教人游泳“理论”，给人游泳示范，都是为游泳者提供游泳实践的指导，真正的游泳本领必须来自学泳者的游泳实践。优质的“理论”和优质的“实践”相结合，就会造就出中学数学解题教学的高效率。 参考文献：【1】【2】 美 加里D鲍里奇 有效教学方法第四版 p14，p9 江苏教育出版社2004年 易东平译【3】张卿 学与教的历史轨迹 山东教育出版社 1995年3月第一版 p181 【4】郑毓信 谢明初 双基与双基教学：认知的观点 载 迎接新世纪重新检视香港数学教育香港数学教育学会2005【5】唐以荣 中学数学综合题解题规律讲义 重庆师范学院数
29、学系 1985.3 【6】S克鲁里克， JA鲁得尼克问题解答（教师手册） 扬承纶 林毓材编译Constructing the Instruction Mode Based on the choosingprobingDeveloping Method In Problem solving to lncrease the efficiency of Mathematics Teaching.Weiping Qiu Shenzhen Foreign Languages SchoolAbstract: This paper analyses the Characters of learning an
30、d rules for the transfer of knowledge from the point of view of pschology and constructs a instruction mode Based on the choosingprobingdeveloping Method in problem solving, furthermose, disucsses how to apply this mode to increasing the efficiency of Mathematics teaching.Key words: choosing, Mathematics teaching, efficiency.作者简介：邱卫平（1953），男，湖南常德人，高级教师，从事中学数学教育与研究