1、第18练解三角形问题题型分析高考展望正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点体验高考1(2016天津改编)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC等于_答案1解析由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)2(2016课标全国丙改编)在ABC中，B，BC边上的
2、高等于BC，则cos A等于_答案解析设BC边上的高线AD交BC于点D，由题意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以cos A.3(2015天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_答案8解析cos A，0A，sin A.SABCbcsin Abc3，bc24.又bc2，b22bcc24，b2c252.由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.4(2015广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.答案1解析因为sin B且B(
3、0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.5(2016北京)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cos Acos C的最大值解(1)由a2c2b2ac得a2c2b2ac.由余弦定理得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA,0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin.因为0A，所以A，故当A，即A时，cos Acos C取得最大值1.高考必会题型题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题例1(1)(2015广东改编)设ABC的内角A
4、，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A且bc，则b等于_答案2解析由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2122b2，即b26b80，b4或b2，又bc，b2.(2)(2016课标全国乙)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.求C；若c，ABC的面积为，求ABC的周长解由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C,2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.由已知，得absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，
5、a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解；已知大角求小角有一解在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生变式训练1设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解(1)bsin Aacos B，由正弦定理得sin Bsin Asin
6、 Acos B.在ABC中，sin A0，即得tan B.B(0，)，B.(2)sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，即9a24a22a2acos ，解得a，c2a2. 题型二正弦、余弦定理的实际应用例2某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到3
7、0海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S .故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时点评解三角形中的实际问题四步骤(1)分析题意，准确理解题
8、意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案变式训练2为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米答案10解析由题意可得，BCD9015105，CD10，BDC45，CBD30.在BCD中，由正弦定理，得，解得BC10米，在
9、RtABC中，塔AB的高是10米题型三解三角形与其他知识的交汇例3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos， 3.(1)求ABC的面积；(2)求a的最小值解(1)cos，cos A2cos21，sin A，又3，得bccos A3bc5SABCbcsin A2.(2)bc5，a2b2c22bccos Ab2c225，a2b2c26，a2b2c26b2c26a22bc10.amin2.当且仅当bc时，a有最小值2.点评解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主
10、体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键变式训练3(2015陕西)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积解(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A.由于0A，所以A.(2)方法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而由a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3，故ABC的面积为Sbcsin A.方法二由正弦定理，得，从而sin B.又由ab，
11、知AB，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为Sabsin C.高考题型精练1(2015北京改编)在ABC中，a4，b5，c6，则等于_答案1解析由余弦定理，得cos A，sin A，cos C，sin C，1.2(2015重庆改编)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c等于_答案4解析由3sin A2sin B，得3a2b，ba23，在ABC中，由余弦定理，得c2a2b22abcos C223222316，解得c4.3在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、
12、c，且abc，a2b2c2，则角A的取值范围是_答案解析因为a2b2c2，所以cos A0，所以A为锐角，又因为abc，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.4在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin Absin Bcsin C，则ABC的形状是_三角形答案钝角解析根据正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理得cos C0，故C是钝角5在ABC中， |3，则ABC的面积的最大值为_答案解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，|3，又cos A11，cos A，0sin A，ABC的面积Sbcsin Atan A，故ABC面积的最大值为.6在ABC中，已知a2，bx，B3
13、0.如果x1，则A_；如果x，则A_. 答案9060或120解析若x1，则ABC为直角三角形，A90.若x，则由正弦定理或余弦定理可解得A60或120.7(2016课标全国甲)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.答案解析在ABC中由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.8(2015重庆)在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC_.答案解析在ABD中，由正弦定理得，即，解得sinADB，ADB45，从而BAD15DAC，所以C1801203
14、030，AC2ABcos 30.9(2015课标全国)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_答案(，)解析如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB0)，则aksin A，bksin B，cksin C.代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C.所以sin Asin Bsin C.(2)解由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)，知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B，故tan B4.