1、第三章基本知能检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1若0，则下列不等式：ab|b|；a2中正确的是()ABCD答案C解析由0，得ba0，均不成立，ab0，成立而20，2，成立故选C2若m(2a1)(a2)，n(a2)(a3)，则m，n的大小关系正确的是()AmnBmnCmnDmn答案B解析m2a23a2，na2a6，mna24a4(a2)20.mn.3若集合Ax|x2x60，Bx|0，则AB等于()A(3,3)B2,2)C(2,2)D2,3)答案B解析Ax|3x2(3,
2、2)，B2,3)，AB2,2)4不等式0的解集为()Ax|0x2 011Bx|0x2 011Cx|x0或2 010x2 011Dx|x0或2 010x2 011解答A解析原不等式等价于如图所示：用穿针引线法求得原不等式的解集为x|0x2 010或x2 0115不等式(x2a)(x1)(x3)0，x、y满足约束条件，若z2xy的最小值为1，则a()ABC1D2答案B解析本题考查了线性规划知识作出线性约束条件的可行域因为ya(x3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C(1，2a)时，z2xy有最小值，212a1，a.7有下列函数：yx(x0)；yx1(x1)；ycosx(0x0)其中最小值为4
3、的函数有()A4个B3个C2个D1个答案C解析对于，yx24，当且仅当x2时，取等号对于，yx12(x1)224，当且仅当x2时，取等号对于、，最小值为4的条件不具备，故选C8设a1，则关于x的不等式a(xa)(x)0的解集为()Ax|xBx|xaCx|xa或xDx|x0，aa，解为x或x0，b0，22，当且仅当，且ab2，即a，b时取得等号，y的最小值是，选C10已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()A1,0B0,1C0,2D1,2答案C解析本题主要考查向量的坐标运算与线性规划知识(1,1)(x，y)yx，画出线性约束条件表示的平面区域如
4、图所示可以看出当zyx过点A(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则的取值范围是0,2，故选C11要使关于x的方程x2(a21)xa20的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是()A1a1Ba1C2a1Da1答案C解析设f(x)x2(a21)xa2，由题意知，f(1)1a21a2a2a2(a1)(a2)0，2a1.12若直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M、N两点，且M、N关于直线 xy0对称，动点P(a，b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是()A2，)B(，2C2,2D(，22，)答案D解析由题意分析直线ykx1与直线xy0垂直，所以k1，即
5、直线yx1.又圆心C(，)在直线xy0上，可求得m1.则不等式组为所表示的平面区域如图，的几何意义是点Q(1,2)与平面区域上点P(a，b)连线斜率的取值范围kOQ2，kAQ2，故的取值范围为(，22，)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13不等式2x22x4的解集为_答案3,1解析不等式2x22x4化为2x22x421，x22x41，x22x30，3x1，原不等式的解集为3,114函数f(x)lg(x2axa)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围是_答案0a0的解集为R.a24a0，解得0a0，即x22x80，(x4)(x2)0，2x4.Mx|2x
6、4由10，得0，x3或x1.Nx|x1或x3MNx|2x1或3x0，即x1时，y(x1)3231，当且仅当x1，即x1时，ymin1，此时y1.(2)当x10，即x0，y0，lgxlgy1，求的最小值解析解法一：由已知条件lgxlgy1可得：x0，y0，且xy10.则2，所以min2，当且仅当，即时等号成立解法二：由已知条件lgxlgy1可得：x0，y0，且xy10，222(当且仅当，即时取等号)所以()min2.20(本题满分12分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可
7、能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解析设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知，目标函数zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域作直线l0：x0.5y0，并作平行于直线l0的一组直线，x0.5yz，zR.与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x0.5y0的距离最大，这里M点是直线xy10和0.3x0.1y1.8的交点解方程组，得.此时z140.567(万元)当，时z取得最大值答：投资人用4
8、万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能盈利最大21(本题满分12分)已知不等式ax23x64的解集为x|xb，(1)求a，b的值；(2)解不等式0.解析(1)由已知得：1，b是方程ax23x64的两根，a364，a1，方程x23x20其两根为x11，x22，b2.(2)将a1、b2代入不等式0得，0，可转化为：(x1)(x1)(x2)0，如图，由“穿针引线”法可得原不等式的解集为x|1x222(本题满分14分)国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元(1)写出
9、钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当mn时，价值损失的百分率最大(注：价值损失的百分率100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)解析(1)由题意可设价值与重量的关系式为：ykx2，3克拉的价值是54000美元，54 000k32，解得：k6 000，y6 000x2，答：此钻石的价值与重量的函数关系式为y6 000x2.(2)若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6 000(mn)2，现有价值是6 000m26 000n2，价值损失的百分率100%100%，当且仅当mn时取等号当mn时，价值损失的百分率最大