1、第10练重应用函数的实际应用题型分析高考展望函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决体验高考1(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时答案24解析由题意得e22k，e11k，x
2、33时，ye33kb(e11k)3eb319224.2(2015上海)如图，A，B，C三地有直道相通，AB5千米，AC3千米，BC4千米现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米)甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时乙到达B地后原地等待设tt1时乙到达C地(1)求t1与f(t1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1t1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在t1,1上的最大值是否超过3？说明理由解(1)t1.记乙到C时甲所在地为D，则AD千米在ACD中，CD2AC2AD22ACADcos
3、A，所以f(t1)CD(千米)(2)甲到达B用时1小时；乙到达C用时小时，从A到B总用时小时当t1t时，f(t) ；当t1时，f(t)55t，所以f(t)因为f(t)在上的最大值是f，f(t)在上的最大值是f，所以f(t)在上的最大值是，不超过3.3(2015江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连结两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米以l2，l1所在的
4、直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为.设在点P处的切线l分别交x，y轴于A，B两点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5,10)时，g(t)0，
5、g(t)是减函数；当t(10，20)时，g(t)0，g(t)是增函数从而当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.答当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米高考必会题型题型一基本函数模型的应用例1某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时本年度计划将电价调至0.55元0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x0.4)(元)成反比又当x0.65时，y0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益用电量
6、(实际电价成本价)解(1)y与(x0.4)成反比，设y(k0)把x0.65，y0.8代入上式，得0.8，k0.2.y，即y与x之间的函数关系式为y.(2)根据题意，得(1)(x0.3)1(0.80.3)(120%)整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6.经检验x10.5，x20.6都是所列方程的根x的取值范围是0.550.75，故x0.5不符合题意，应舍去x0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.点评解决实际应用问题的关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉及的数学模型，一般程序如下：.变式训练1(1)(2015北
7、京改编)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为_升(2)2015年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价已按原价a扣去20%，他希望对货物定一新价，以便每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是_答案(1)8(2)yx(xN*)解析(1)由表知，汽车行驶路程为35 60035 000600千
8、米，耗油量为48升，每100千米耗油量为8升(2)设每台新价为b，则售价b(125%)，让利b25%，由于原价为a，则进价为a(120%)，根据题意，得每件家电利润为b(125%)20%b(125%)a(120%)，化简得ba.yb25%xa25%xx(xN*)，即yx(xN*)题型二分段函数模型的应用例2已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产
9、中所获得的利润最大？并求出最大利润解(1)当040时，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以W(2)当040时，W16x7 360，由于16x2 1 600，当且仅当16x，即x50(40，)时，取等号，所以此时W有最大值5 760.因为6 1045 760，所以当x32时，W取得最大值6 104万元点评函数有关应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、 路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答变式训练2某
10、市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_ km.答案9解析设出租车行驶x km时，付费y元，则y由y22.6，解得x9.高考题型精练1(2016江苏省高考四模)现用一半径为10 cm，面积为100 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗)，则该容器的容积为_ cm3.答案解析设圆锥形容器的底面半径是r，高为h，由
11、题意得，2r10100，解得r10(cm)，则h10(cm)，所以圆锥形容器的体积Vr2h10210(cm3)2如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份至少是_年(lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1092.037 4，lg 0.092.954 3)答案2012解析设1995年生产总值为a，经过x年翻两番，则a(19%)x4a.x17.3(2016南通市模拟)用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_答案3解析如图所示，设矩形场地的宽为x，则长为，其
12、面积为Sx12x2x22(x26x9)182(x3)218.当x3时，S有最大值18.所以隔墙的长度应为3.4某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元答案43解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x)20.132.因为x0,16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元5正
13、方形铁片的边长为8 cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于_ cm3.答案解析由题意知，弧长为82，即围成圆锥形容器的底面周长为2，所以圆锥底面半径为r1，可得圆锥高h3，所以容积Vr2h123 (cm3)6一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm、60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是_cm2.答案600解析设直角边为40 cm和60 cm上的矩形边长分别为x cm、y cm，则，解得y60x.矩形的面积Sxyx(x20)2600，当x20时矩
14、形的面积最大，此时S600.7某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元答案58解析由题意知每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时，年平均利润最大，最大值为8万元8一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.那么一个喝了少量酒后的驾
15、驶员，至少经过_小时才能开车(精确到1小时)答案5解析设至少经过x小时才能开车，由题意得0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750.34.2，至少经过5个小时才能开车9商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba)这里，x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项据此可得，最佳乐观系数x的值等于_答案解析依题意得x，(ca)2(bc)(ba)，bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，又ba0，两边同除以(ba)
16、2，得x2x10，解得x.0x1，x.10某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入(x2x)万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解(1)设商品的销售价格提高a元，则(10a)(5a)50，即0a5，所以商品的价格最多可以提高5元(2
17、)由题意知改革后的销售收入为mx万元，若改革后的销售收入等于原销售收入与总投入总和，只需要满足mx(x2x)50(x5)，即mx2 ，当且仅当x10时等号成立故销售量至少应达到万件时，才能使改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和11某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为(弧度)(1)求关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面
18、积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解(1)设扇环的圆心角为，则30(10x)2(10x)，所以(0x10)(2)花坛的面积为(102x2)(5x)(10x)x25x50(0x10)，装饰总费用为9(10x)8(10x)17010x，所以花坛的面积与装饰总费用的比y，令t17x，则y，当且仅当t18时取等号，此时x1，.综上，当x1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大12在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证
19、企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L，则由题设得LQ(P14)1003 6002 000，由销量图易得Q代入式得L(1)当14P20时，Lmax450元，此时P19.5元；当20P26时，Lmax元，此时P元故当P19.5元时，月利润余额最大，为450元(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n45050 00058 0000，解得n20，即最早可望在20年后脱贫