1、55.2简单的三角恒等变换新课程标准解读核心素养1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想逻辑推理2.灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明数学运算类似电脑输入法有“半角”和“全角”之分(如图)，三角中也有倍角公式与单角公式，那么单角和半角之间的联系是什么？由两角和与差的正弦公式和余弦公式还可以推导出哪些三角恒等式？问题由cos 30的值能否求出sin 15和cos 15的值？知识点半角公式1有了半角公式，只需知道cos 的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值2由于tan 及tan 不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但
2、需要注意该公式成立的条件3辅助角公式：asin xbcos xsin(x). 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)cos .()(2)存在R，使得cos cos .()(3)对于任意R，sin sin 都不成立()答案：(1)(2)(3)2若cos ，且(0，)，则cos _，sin_答案：3tan_答案：1应用半角公式求值例1(链接教科书第225页例7)已知sin ，求sin，cos，tan的值解，sin ，cos ，且，sin ，cos ，tan2.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；(2)明范围：由于
3、半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围注意已知cos 的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号 跟踪训练已知cos 2，求tan的值解：因为cos 2，依半角公式得sin ，cos ，所以tan.三角函数式的化简例2化简：(2)解原式.又2，cos0，原式cos .化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切；(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径如升幂、降幂、配方、开方等
4、 跟踪训练化简：(1)costan(1cos )；(2).解：(1)原式sin (1cos )2sin ；(2)原式tan 2.三角恒等变换的综合应用例3(链接教科书第227页例9)已知函数f(x)sin2cos2x1.求函数f(x)的最大值及其相应的x的取值集合解f(x)sin2cos2x1sin 2xcoscos 2xsincos 2xsin 2xcos 2xsin，故f(x)sin，所以当2x2k，kZ，即 xk，kZ时，f(x)max1.其相应的x的取值集合为.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简 跟踪训练已知函数f(x)sin2sin2(xR)求函数f(x)
5、的最小正周期解：f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，f(x)的最小正周期为T.三角恒等变换的实际应用问题例4(链接教科书第227页例10)如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2，再沿刚才的方向继续前进10 m到点D，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高解因为ACDBAC2，所以BAC，所以ACBC30 m.又ADE2CAD4，所以CAD2，所以ADCD10 m.所以在RtADE中，AEADsin 410sin 4(m)，在RtACE中，AEACsin 230sin 2(m)，所以10
6、sin 430sin 2，即20sin 2cos 230sin 2，所以cos 2，又2，所以2，所以，所以AE30sin 15(m)，所以，建筑物AE的高为15 m.解决此类问题，关键是合理引入自变量，恰当表示题中的有关量，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解 跟踪训练如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最长？解：设AOB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ，所以lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )RRsinR.因为0，所以，所以l的最大值为RR(1)R，此时，即，即当时，OAB的周长最长1已知sin 2，则cos2()ABC. D.解析：选Dcos2.2函数ysin 2xcos2x的最小正周期为_解析：ysin 2xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以该函数的最小正周期为.答案：3已知cos ，(，2)，求sin cos 的值解：因为(，2)，所以，所以sin ，cos ，所以sin cos .