1、55三角恒等变换55.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式新课程标准解读核心素养1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义数学抽象、逻辑推理2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系逻辑推理、数学运算3.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式解决求值、化简等问题数学运算第一课时两角差的余弦公式很多同学认为两角差的余弦cos()cos cos ，那么这个结论正确吗？让我们做一个试验：cos(6030)与cos 60cos 30的值作比较，cos(6030)cos 30，cos 60cos 30，显
2、然，cos(6030)cos 60cos 30，由此可得cos()cos cos 不一定成立问题如何用，的正、余弦值表示cos()呢？知识点两角差的余弦公式两角差的余弦公式cos()coscossinsin简记符号C()使用条件，都是任意角1公式的结构特征2公式中的，都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)，R，cos()cos cos 成立()(2)对，R，cos()cos cos sin sin 都成立()答案：(1)(2)2cos 20()Acos 30cos 10sin 30sin 10Bcos 30cos 10sin 30sin
3、 10Csin 30cos 10sin 10cos 30Dcos 30cos 10sin 30cos 10答案：B3设，若sin ，则cos_答案：给角求值问题例1(1)cos(15)的值为()A.B.C. D(2)cos 105sin 105.(1)解析cos(15)cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45，故选C.答案C(2)解cos 105sin 105cos 60cos 105sin 60sin 105cos(60105)cos(45).利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解；(2)在转化过程中，充分利
4、用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值 跟踪训练1cos 105_解析：原式cos(15045)cos 150cos 45sin 150sin 45.答案：2求下列各式的值：(1)cos 80cos 35cos 10cos 55；(2)sin 100sin(160) cos 200cos(280)解：(1)原式cos 80cos 35sin 80sin 35cos(8035)cos 45.(2)原式sin(18080)sin(18020)cos(20180)cos(80360)sin 80(sin 20)(cos 20)cos 80(cos 20cos 80sin 20s
5、in 80)cos(2080).给值求值问题例2(链接教科书第216页例2)(1)若sin()，是第二象限角，sin，是第三象限角，求cos()的值；(2)已知sin ，cos()，均为锐角，求cos 的值解(1)sin()sin ，sin ，又是第二象限角，cos .sincos ，且为第三象限角，sin ，cos()cos cos sin sin .(2)由sin 和为锐角可得cos .由cos()和0180可得sin().于是cos cos()cos()cos sin()sin .给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的
6、关系，即拆角与凑角；(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换常见角的变换有：()；2()()；2()() 跟踪训练1已知cos ，则cos()A BC D解析：选Bcos ，sin ，则cos(cos sin ).2已知sin，且，求cos 的值解：因为，所以0，所以cos ，所以cos coscoscossinsin.给值求角问题例3已知，均为锐角，且sin ，sin ，求的值解，均为锐角，cos ，cos .cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.母题探究(变条件)若本例中“sin ”变为“cos ”，“sin
7、”变为“cos ”，则_解析：，均为锐角，sin ，sin ，cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0，故.答案：已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；(2)求所求角的某种三角函数值为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；(3)结合三角函数值及角的范围求角 跟踪训练若cos()，cos 2，均为锐角，且，求的值解：cos()，cos 2，且，2(0，)，sin()，sin 2，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()，(0，)，.1cos 56cos 26sin 56cos 64的值为()A. BC. D解析：选C原式cos 56cos 26sin 56sin 26cos(5626)cos 30.2cos(75)的值()A. B.C. D.解析：选Ccos(75)cos(3045)cos(30)cos 45sin(30)sin 45，故选C.3已知是锐角，sin ，则cos_解析：因为是锐角，sin ，所以cos ，所以coscoscos sinsin .答案：4化简：_解析：.答案：