1、第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简1(2017湖南长沙一模)化简： .答案4sin 解析4sin .2化简： .答案cos 2x解析原式cos 2x.3(2018聊城模拟)已知cos，则sin .答案解析由题意可得，cos2，cossin 2，即sin 2.因为cos0，所以0，2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2，由两角差的正弦公式，可得sinsin 2cos cos 2sin .4已知为第二象限角，且tan tan2tan tan 2，则sin .答案解析由已知可得tan2，为第二象限角，sin，cos，则sinsinsincossin sincos .思维升华 (
2、1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点题型二三角函数的求值命题点1给角求值与给值求值典例 (1)(2018太原质检)2sin 50sin 10(1tan 10) .答案解析原式sin 80cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.(2)已知cos，则的值为 答案解析sin 2sin 2tan.由得2，又cos，所以sin，tan.cos cos，sin ，sin 2.所以.(3)(2017合肥联考
3、)已知，为锐角，cos ，sin()，则cos .答案解析为锐角，sin .，0.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .命题点2给值求角典例 (1)设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为()A. B.C. D.或答案C解析，为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin 0.又(，2)，.(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为 答案解析tan tan()0，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.引申探究本例(1)中，若，为锐角，sin ，cos ，则 .答案解析，为锐角，co
4、s ，sin ，cos()cos cos sin sin .又00，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos ，sin ，.(2)(2017昆明模拟)计算： .答案4解析原式4.(3)定义运算adbc.若cos ，0，则 .答案解析由题意有sin cos cos sin sin()，又0，0，故cos()，而cos ，sin ，于是sin sin()sin cos()cos sin().又0，故.题型三三角恒等变换的应用典例 (2017浙江)已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)由sin，c
5、os，得f2222.(2)由cos 2xcos2xsin2x与sin 2x2sin xcos x，得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质，得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为(kZ)思维升华 三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性跟踪训练(1)函数f(x)sin(x)2sin cos x的最大值为 (2)函数f(x)sin2si
6、n2x的最小正周期是 答案(1)1(2)解析(1)因为f(x)sin(x)2sin cos xsin xcos cos xsin sin(x)，又1sin(x)1，所以f(x)的最大值为1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，所以T.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2016天津)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性思想方法指导(1)讨论形如yasin xbcos x型函数的性质，一律化成ysin(x)型的函数(2)研究yAsin(x)型函数
7、的最值、单调性，可将x视为一个整体，换元后结合ysin x的图象解决规范解答解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.5分所以f(x)的最小正周期T.6分(2)因为x，所以2x，8分由ysin x的图象可知，当2x，即x时，f(x)单调递减；当2x，即x时，f(x)单调递增10分所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减12分1(2018厦门质检)若sin，则cos 等于()A B C. D.答案A解析coscoscos.2.等于()
8、A B. C. D1答案C解析原式.3(2017杭州二次质检)函数f(x)3sincos4cos2(xR)的最大值等于()A5 B. C. D2答案B解析由题意知f(x)sin x4sin x2cos x22，故选B.4设，且tan ，则()A3 B2C3 D2答案B解析由tan ，得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2.54cos 50tan 40等于()A. B.C. D21答案C解析原式4sin 40.6(2017豫北名校联考)若函数f(x)5cos x12sin x在x时取得最小值，则cos 等于()A. B C. D答案
9、B解析f(x)5cos x12sin x1313sin(x)，其中sin ，cos ，由题意知2k(kZ)，得 2k(kZ )，所以cos coscossin .7(2018届东莞外国语学校月考)若cos，则sin 2 .答案解析由cos，可得cos sin ，两边平方得(12sin cos )，sin 2.8已知方程x23ax3a10(a1)的两根分别为tan ，tan ，且，则 .答案解析依题意有tan()1.又tan 0且tan 0，0且0，即0，结合tan()1，得.9已知cos4sin4，且，则cos .答案解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2，又，
10、2(0，)，sin 2，coscos 2sin 2.10函数f(x)sin x2sin2x的最小值是 答案1解析f(x)sin x2sin1，又x，x，f(x)min2sin 11.11(2018邯郸模拟)已知tan ，cos ，求tan()的值，并求出的值解由cos ，得sin ，tan 2.tan()1.，.12已知函数f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求f的值；(2)若sin ，且，求f.解(1)fcos2sin cos 2.(2)因为f(x)cos2xsin xcos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin，所以fsinsin.又因为sin ，且，所以cos
11、 ，所以f.13(2017南昌一中月考)已知，且cos，sin，则cos() .答案解析，cos，sin，sin，sin，又，cos，cos()cos.14在斜ABC中，sin Acos Bcos C，且tan Btan C1，则角A的值为 答案解析由已知sin(BC)cos Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin Ccos Bcos C，tan Btan C，又tan Btan C1，tan(BC)1，tan A1，又0A，A.15(2017武汉模拟)在ABC中，A，B，C是ABC的内角，设函数f(A)2sinsinsin2cos2，则f(A)的最大值为 答案解析f(A)2cos
12、 sin sin2cos2sin Acos Asin，因为0A，所以A.所以当A，即A时，f(A)有最大值.16(2018泉州模拟)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(3，)(1)求sin 2tan 的值；(2)若函数f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数g(x)f2f 2(x)在区间上的值域解(1)角的终边经过点P(3，)，sin ，cos ，tan .sin 2tan 2sin cos tan .(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，xR，g(x)cos2cos2xsin 2x1cos 2x2sin1，0x，2x.sin1，22sin11，故函数g(x)f2f2(x)在区间上的值域是2,1