1、23二次函数与一元二次方程、不等式新课程标准解读核心素养1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义数学抽象2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集数学抽象、数学运算3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系直观想象4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决数学抽象、数学建模、数学运算第一课时二次函数与一元二次方程、不等式城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交
2、通的畅通城市立交桥已成为现代化城市的重要标志为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位：m)的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l(单位：m)，当车速为60(单位：km/h)时，车距为1.44个车身长问题在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？知识点一一元二次不等式1把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式是ax2bxc0或ax2bxc0(其中a，b，c均为常数，a0)对一元二次不等式的再理解(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；(2)二次，即
3、未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 下面所给关于x的几个不等式：3x40；ax24x70；x2000)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2ax2bxc0)的解集x|x1x0的解集为_，不等式x(x2)0的解集为_答案：x|x2x|0x0的解集是_解析：因为(2)243141280的解集为R.答案：R不含参数的一元二次不等式的解法例1(链接教科书第52页例1)解下列不等式：(1)2x25x30；(4)x26x100.解(1)490，方程2x25x30的两根为x13，x2，作出函数y2x25x3的图象，如图所示由图可得原不等式的解
4、集为.(2)原不等式等价于3x26x20.120，解方程3x26x20，得x1，x2，作出函数y3x26x2的图象，如图所示，由图可得原不等式的解集为.(3)0，方程4x24x10有两个相等的实根x1x2.作出函数y4x24x1的图象如图所示由图可得原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x26x100，40，方程x26x100无实根，原不等式的解集为.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正；(2)判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式；(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无
5、实根；(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；(5)写解集：根据图象写出不等式的解集 跟踪训练解下列不等式：(1)4x220x25；(2)(x3)(x7)0；(3)3x25x40；(4)x(1x)x(2x3)1.解：(1)不等式可化为4x220x250，由于0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是x|3x7(3)不等式3x25x40可化为3x25x40，由于判别式2548230，函数y3x25x4的图象开口向上，所以不等式的解集是R.(4)不
6、等式x(1x)x(2x3)1可化为3x24x10.因为方程3x24x10的两个根是，1，函数y3x24x1的图象开口向上，所以不等式的解集是含参数的一元二次不等式的解法例2(2021济南一中月考)解关于x的不等式：x2(3a1)x2a(a1)0(aR)解关于x的不等式x2(3a1)x2a(a1)0，即(x2a)(xa1)0，对应方程两根为2a，a1，以下分类讨论：当2aa1，即a1时，原不等式即为(x2)20，解集为；当2aa1，即a1时，原不等式解集为x|a1x2a；当2aa1，即a1时，原不等式解集为x|2axa1综上所述，当a1时，原不等式解集为；当a1时，原不等式解集为x|a1x2a；
7、当a1时，原不等式解集为x|2axa1含参数的一元二次不等式的解法 跟踪训练解关于x的不等式ax2(a1)x10(a1)解：当a0时，原不等式即为x11.当a0，解得x1.若0a1，原不等式化为(x1)0.解得1x.综上可知，当a1；当0a1时，原不等式的解集为；三个“二次”之间的关系例3已知关于x的不等式ax25xc0的解集为.(1)求a，c的值；(2) 解关于x的不等式ax2(ac2)x2c0.解(1)由题意知不等式对应的方程ax25xc0的两个实数根为和，且a0，由根与系数的关系，得解得a6，c1.(2)由a6，c1知不等式ax2(ac2)x2c0可化为6x28x20，即3x24x10，
8、解得x1，所以不等式的解集为.一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集(2)求解步骤第一步：审结论明确解题方向：如要解cx2bxa0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值；第二步：审条件挖掘题目信息：利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c；第三步：建联系找解题突破口：由给定不等式的解集形式确定关于a，b，c的方程组用a表示b，c代入所求不等式求解cx2bxa0的解集 跟踪训练关于x的不等式axb0的解集是x|
9、x1，则关于x的不等式(axb)(x3)0的解集是()Ax|1x3Bx|1x3Cx|x1或x3 Dx|x1或x3解析：选D因为不等式axb0的解集是x|x1，所以a0，1，所以(axb)(x3)0等价于a(x1)(x3)0，其解集应为x|x3或x1，故选D.1(多选)下列不等式是一元二次不等式的是()Ax2x1 Bx210Cx210 Dx210解析：选AD由于x210，x210不符合一元二次不等式的定义，只有x2x1，x210是一元二次不等式，故选A、D.2使式子有意义的实数x的取值范围是()Ax|x0或x1 Bx|x0或x1Cx|1x0 Dx|1x0解析：选C分析知应使x2x0，即x2x0，所以1x0.3不等式(x1)2x5的解集为()Ax|1x4 Bx|1x4Cx|4x1 Dx|1x3解析：选B原不等式可化为x23x40，即(x1)(x4)0，故其解集为x|1x4故选B.4已知一元二次不等式x2pxq0的解集为，求不等式qx2px10的解集解：因为x2pxq0的解集为，所以x1与x2是方程x2pxq0的两个实数根，由根与系数的关系得解得所以不等式qx2px10即为x2x10，整理得x2x60，解得2x3.即不等式qx2px10的解集为x|2x3