1、东城区普通高中示范校高三综合练习（一） 高三数学（理） 2012. 12命题学校：北京汇文中学学校： 班级： 姓名： 成绩： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1已知全集,集合,则为ABCD【答案】C【解析】,所以，选C.2是的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，恒成立，当时，由得，所以是成立的充分不必要条件,选A.3若，则下列各式正确的是A B C D【答案】C【解析幂函数在时，单调递减，所以A错误。在定义域上不单调，错误。对数函数在定义域上单调递增，所以C正确。指
2、数函数在定义域上单调递减，不正确。所以选C.4在等差数列中，且，则的最大值是A B C D【答案】C【解析】在等差数列中，得，即，由，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值为9，选C.5如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为A B C D 【答案】B【解析】由三视图可知这是一个底面矩形的斜四棱柱，其中四棱柱的高为，底面矩形的长为3底面宽为，所以该几何体的体积为，选B.6下列命题中，真命题是A BC D【答案】D【解析】因为，所以A错误。当时有，所以B错误。，所以C错误。当时，有，所以D正确，选D.7已知、为双曲线C:的左、右焦点，点在上，=，则到轴的距
3、离为 A B C D 【答案】B【解析】由双曲线的方程可知，在中，根据余弦定理可得,即，所以，所以，所以的面积为,又的面积也等于，所以高，即点P到轴的距离为，选B.8设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 A B C D 【答案】D【解析】，所以对称轴为，当时，所以要使互不相等的实数满足，则有，不妨设，则有，所以，即，所以的取值范围是，选D,如图。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9已知则_.【答案】1【解析】等式两边平方得，即，所以，因为，所以，所以，所以。10函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是 【答案】【解析】当时，函数在上没有零点，所
4、以，所以根据根的存在定理可得，即，所以，解得，所以实数的取值范围是。11由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 .【答案】【解析】由，解得，即，所以所求面积为。12正三角形边长为2，设，则_.【答案】 【解析】因为，,所以。13已知命题：是奇函数；。下列函数：，中能使都成立的是 .（写出符合要求的所有函数的序号）.【答案】【解析】若，所以为奇函数。成立，所以满足条件。若，则为奇函数。，所以成立。若，则不是奇函数，所以不满足条件，所以使都成立的是。14 集合，集合,，设集合是所有的并集，则的面积为_.【答案】 【解析】,所以抛物线的顶点坐标为，即顶点在直线上，与平行的直线和抛物线相切，不妨设切线为
5、，代入得，即，判别式为，解得，所以所有抛物线的公切线为，所以集合的面积为弓形区域。直线方程为，圆心到直线的距离为,所以,所以,.扇形的面积为。三角形的面积为,所以弓形区域的面积为。三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤.15（本小题满分13分）已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象？16（本小题满分13分）已知数列的前项和为,数列满足，（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.17（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，侧面与底面垂直， 分别是的中点，.（1）求证：/平面；（2）若点在线段上，问：无
6、论在的何处，是否都有？请证明你的结论；（3）求二面角的平面角的余弦值.18. （本小题满分13分）椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点。的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且。若直线的斜率之和为0，求证：为定值.19. （本小题满分13分）已知函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）对,不等式恒成立，求的取值范围20（本小题满分14分） 将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中都是实数。定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.（1）若，求；（2）如果，计算的
7、特征值，并求相应的；（3）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：有唯一的特征值，,并验证满足这两个条件.北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习（一）数学试卷（理科）参考答案题号12345678答案CACCBDBD9. 1 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：(1) = = = 6分 最小正周期 单调递增区间 ， 9分 (2) 向左平移个单位；向下平移个单位 13分16解（1） 4分 +3 ， +3，两式作差：3-=2 10分 (2) = 13分17解：（1）分别是的中点 / 又平面 /平面 3分(2) 在中，/, 平面平面， 平面
8、，平面 平面 平面 所以无论在的何处，都有 8分(3) 由（2）平面又平面 是二面角的平面角在中所以二面角的平面角的余弦值为 14分法二：（2） 是的中点， 又平面平面平面同理可得平面在平面内，过作 以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则， ，设，则， 恒成立，所以无论在的何处，都有（3）由（2）知平面的法向量为= 设平面的法向量为 则，即 令，则，所以二面角的平面角的余弦值为 14分18解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以，解得， 故椭圆的方程为（方法2、待定系数法）4分（2）设，由：，两式相减，得到所以，即， 9分同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以 1
9、3分方法2：设直线：，代入椭圆，得到，化简得以下同。 13分19解：（1）2分当时，0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。当时，在上单调递增。当时，+0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。8分（2）法一、因为，所以由得，即函数对恒成立由（）可知，当时，在单调递增，则，成立，故。当，则在上单调递增，恒成立，符合要求。当，在上单调递减，上单调递增，则，即，。综上所述，。 13分法二、当时，；当时，由得，对恒成立。设，则由，得或-0+递减极小递增，所以，。 13分20解：（1）由于此时，又因为是在的条件下，有 （时取最大值），所以此时有。4分（2）由，可得：，解此方程组可得：，从而。当时，解方程 此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且。当时，同理可得，相应的（写出一个即可），其中且 9分（3）解方程组从而向量与平行，从而有应满足：。当时，有唯一的特征值，且。具体证明为：由的定义可知：对任意的有：，所以为特征值。此时。满足：，所以有唯一的特征值。在的条件下，从而有。14分