1、第2讲参数法在解题中的应用方法精要在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去
2、确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支运用参数法解题已经比较普遍参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题题型一参数法在函数问题中的应用例1定义在R上的增函数yf(x)对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(k3x)f(3x9x2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围破题切入点(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决(2)将恒成立问题转化成函
3、数最值问题(1)解令xy0，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0.(2)证明令yx，得f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，则有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(3)解方法一因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数f(k3x)f(3x9x2)f(3x9x2)，所以k3x0对任意xR成立令t3x0，问题等价于t2(1k)t20对任意t0恒成立令f(t)t2(1k)t2，其对称轴为x，当0即k0，符合题意；当0即k1时，对任意t0，f(t)0恒成立解得1k12.综上所述，当k12时，f(k3x)f(3x9x2)0对任意xR恒成立方
4、法二由k3x3x9x2，得k3x1.u3x121,3x时，取“”，即u的最小值为21，要使对xR，不等式k3x1恒成立，只要使k1)，则xlog2t，ylog3t，zlog5t，所以2x3y2log2t3log3tlg t()lg t()，因为lg t0，0，所以lg t()0，所以2x3y；同理5z2xlg t()0，所以5z2x3y.题型四参数法在解析几何中的应用例4(2013浙江)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直线AO、BO分别交直线l：yx2于M、N两点，求MN的最小值破题切入点(1)已知抛物线焦点
5、坐标为F(0,1)，可直接写出抛物线方程；(2)利用根与系数的关系和函数的单调性求最值解(1)由题意可设抛物线C的方程为x22py(p0)，则1，所以抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4.由解得点M的横坐标xM.同理，点N的横坐标xN.所以MN|xMxN|8.令4k3t，t0，则k.当t0时，MN2 2.当t0，y0，x2y2(当且仅当x2y时取等号)又由x2(xy)可得，而2，当且仅当x2y时，max2.的最小值为2.2在平面直角坐标系xOy上的区域D由
6、不等式组构成，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值是_答案4解析如图作出区域D，目标函数zxy过点(，2)时取最大值，故z的最大值为24.3将函数ycos xsin x(xR) 的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是_答案解析ycos xsin x2sin(x)向左平移m个单位长度后得到y2sin(xm)，它关于y轴对称可得sin(m)1，mk，kZ，mk，kZ，m0，m的最小值为.4已知f(t)log2t，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立，则x的取值范围为_答案(，1)(2，)解析t，8，
7、f(t).原题转化为当m时，不等式x2mx42m4x恒成立，即m(x2)(x2)20恒成立令g(m)m(x2)(x2)2，m，问题转化为g(m)在m上恒大于0，则即解得x2或x0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.答案解析讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意6已知函数f(x)5|x|，g(x)ax2x(xR)，若fg(1)1，则a_.答案1解析因为fg(1)150，所以g(1)0，即a10，所以a1.7已知
8、直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A、B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_.答案4解析根据题意，圆心到直线axy20的距离为，所以，解得a4.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)由得圆心C为(3,2)，圆C的半径为1，圆C的方程为(x3)2(y2)21，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为ykx3，即kxy30，1，|3k1|，2k(4k3)0，k0或k，所求
9、圆C的切线方程为y3或yx3，即切线方程为y3或3x4y120.(2)圆C的圆心在直线l：y2x4上，所以，设圆心C为(a,2a4)，则圆C的方程为(xa)2y(2a4)21，又MA2MO，设M为(x，y)，则2，整理得：x2(y1)24.此圆设为圆D，点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，|21|21|，由5a212a80得aR；由5a212a0得0a.综上所述，a的取值范围为0，9已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由解(1)设等比数列an的公比为q，则由
10、已知可得解得或故an3n1或an(5)(1)n1.(2)若an3n1，则n1，故数列是首项为，公比为的等比数列从而1.若an(5)(1)n1，则(1)n1，故数列是首项为，公比为1的等比数列，从而故1.综上，对任何正整数m，总有0得x；令f(x)0得x或0x0)，则F(0，)，由直线l的斜率存在，设为k，得l的方程为ykx，联立方程消去y并整理，得x22pkxp20.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x22pk，x1x2p2，又y1y2(kx1)(kx2)k2x1x2kp(x1x2)k2(p2)kp2kp.所以x1x2y1y2p23，因为p0，解得p2，故所求抛物线的方程为x24y.(2)联立方程可求得A(0,0)，B(4,4)，假设抛物线上存在异于A，B的点C，且设C的坐标为(t，)(t0，t4)，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线，令圆心为E(a，b)，则由得即解得因为抛物线在点C处的切线斜率ky|xt(t0，t4)，又该切线与EC垂直，所以1，即2abt2t0.将代入得，2()t2t0，即t32t28t0，因为t0，t4，解得t2.故存在点C且坐标为(2,1)