1、数 学 大二轮复习第一部分全程方略课件专题8 三角恒等变换与解三角形1 高考考点聚焦 2 核心知识整合 3 高考真题体验 4 命题热点突破 5 课后强化训练 高考考点聚焦 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对三角函数定义的理解，掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式(2)掌握两角和与差的三角公式及二倍角公式(3)掌握正弦定理及余弦定，掌握求三解形面积的方法 预测2020年命题热点为：(1)三角函数的概念与其他知识相结合；(2)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质(3)结合向量或几何知识考查三角形中的边角互化、解三角形核心知识整合2诱导公式(1)公
2、式：S2k；S；S2(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，当锐角看 1同角三角函数之间的关系(1)平方关系：_(2)商数关系_sin2cos21 tan sin cos 2诱导公式(1)公式：S2k；S；S2(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，当锐角看3两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()_；(2)cos()_；(3)tan()_；(4)辅助角公式：asin bcos _sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1tan tan a2b2sin()a2b2cos()4二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2_；(2)cos 2_2co
3、s2112sin2；(3)tan 2_ 5降幂公式(1)sin2_；(2)cos2_2sin cos cos2sin2 2tan 1tan2 1cos 221cos 226正弦定理asin A_ csin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin Csin A a2R，sin B b2R，sin C c2Rabcsin Asin Bsin Cbsin B 7余弦定理a2_，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos C_变形：b2c2a22bccos A，
4、a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C8面积公式SABC_12acsin B12absin Cb2c22bccosA a2b2c22ab12bcsin A 1同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误 2诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错 3忽视解的多种情况 如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况 4忽略角的范围 应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围 5忽视解的实际意义 求解实际问题
5、，要注意解得的结果要与实际相吻合高考真题体验1(2016全国卷)若 cos4 35，则 sin2()A.725 B.15 C15 D 725解析 解法一：cos4 35，sin2cos22 cos242cos24 123521 725.故选 D.解法二：cos4 22(cossin)35，cossin3 25，1sin21825，sin2 725.故选 D.答案 D2(2017山东卷)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是()Aa2b Bb2a CA2B DB2A 解
6、 析 解 法 一：因 为 sinB(1 2cosC)2sinAcosC cosAsinC，所以 sinB2sinBcosCsinAcosCsin(AC)，所以 sinB2sinBcosCsinAcosCsinB，即 cosC(2sinBsinA)0，所以 cosC0 或 2sinBsinA，即 C90或 2ba，又ABC 为锐角三角形，所以 0Cc2，故 2ba，故选A.答案 A3(2017浙江卷)已知ABC，ABAC4，BC2.点 D 为AB 延长线上一点，BD2，连接 CD，则BDC 的面积是_，cosBDC_.解析 由余弦定理得 cosABC422242242 14，cosCBD14，s
7、inCBD 154，SBDC12BDBCsinCBD1222 154 152.又 cosABCcos2BDC2cos2BDC114，0BDC2，cosBDC 104.答案 152 1044(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为 a23sinA.(1)求 sinBsinC；(2)若 6cosBcosC1，a3，求ABC 的周长解(1)由题设得12acsinB a23sinA，即12csinBa3sinA.由正弦定理得12sinCsinB sinA3sinA.故 sinBsinC23.(2)由题设及(1)得 cosBcosCsinBsinC12
8、，即 cos(BC)12.所以 BC23，故 A3.由题设得12bcsinA a23sinA，即 bc8.由余弦定理得 b2c2bc9，即(bc)23bc9，得 bc33.故ABC 的周长为 3 33.5(2017北京卷，12)在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若 sin 13，则 cos()_.79 解析 由题意知 2k(kZ)，2k(kZ)，sin sin，cos cos 又 sin 13，cos()cos cos sin sin cos2sin22sin212191796(2017浙江卷，14)已知ABC，ABAC4，BC2.点 D 为
9、 AB 延长线上一点，BD2，连接 CD，则BDC 的面积是_，cosBDC_.152 104 解析 依题意作出图形，如图所示，则 sinDBCsinABC由题意知 ABAC4，BCBD2，则 sinABC 154，cosABC14，所以 SBDC12BCBDsinDBC1222 154 152 因为 cosDBCcosABC14BD2BC2CD22BDBC8CD28，所以 CD 10由余弦定理，得 cosBDC410422 10 104 命题热点突破(1)(2017日照模拟)已知角 的终边上一点 P 的坐标为(sin23，cos23)，则角 的最小正值为()A56 B23 C53 D116命
10、题方向1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用D 解析 由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义得 cos sin23 32，故 2k6(kZ)，所以 的最小正值为116(2)(2015重庆高考)若 tan 2tan5，则cos310sin5()A1 B2 C3 D4C 解析 cos 310sin5cos 25sin5cos 52sin5sin 5sin5sin cos 5cos sin 5sin cos 5cos sin 5sin cos 5cos sin 5cos cos 5sin cos 5cos sin 5cos cos 5tan tan5tan tan5，因为
11、 tan 2tan5，所以上式2tan5tan52tan5tan53(3)已知 cos(6)23，则 sin(23)_.23 解析 因为(6)(23)2，所以 sin(23)sin2(6)sin2(6)cos(6)23 规律总结(1)运用定义可求解的两类问题(1)求三角函数值(或角)当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他但当角经过的点不固定时，需进行分类讨论(2)建模 由于三角函数的定义与单位圆存在一定的联系，因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数间建立联系2利用同角三角函数的关系式化简与求值的三种常用方法(1)切弦互换法：
12、利用 tan sin cos 进行转化(2)和积转化法：利用(sin cos)212sin cos 进行变形、转化(3)常值代换法：其中之一就是把 1 代换为 sin2cos2.同角三角函数关系sin2cos21 和 tan sin cos 联合使用，可根据角 的一个三角函数值求出另外两个三角函数值根据 tan sin cos 可以把含有 sin，cos 的齐次式化为 tan 的关系式1(2017东城一模)sin(236)()A 32 B12 C12 D 32C 解析 sin(236)sin(46)sin6122(2017天津一模)已知角 的终边经过点 P(m，3)，且 cos 45，则 m等
13、于()A114B114C4 D4C 解析 由题意可知，cos mm2945，又 m0，解得 m43(2017常德一模)若 tan 43，则sin 4cos 5sin 2cos _，sin22sin cos _.87 825 解析 sin 4cos 5sin 2cos tan 45tan 2434543287sin22sin cos sin22sin cos sin2cos2tan22tan tan21169 83169 1 825(1)(2017中山模拟)已知 cos(2)1114，sin(2)4 37，042，则 _.命题方向2 三角恒等变换3 解析 由 042易得42，422，434，故
14、sin(2)5 314，cos(2)17，cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)12，故 3(2)(2017安徽合肥质检)已知 cos(6)cos(3)14，(3，2).(1)求 sin 2 的值；(2)求 tan 1tan 的值解析(1)cos(6)cos(3)cos(6)sin(6)12sin(23)14，即 sin(23)12(3，2)，23(，43)，cos(23)32，sin 2sin(23)3sin(23)cos3cos(23)sin312(2)(3，2)，2(23，)，又由(1)知 sin 212，cos 2 32 tan 1tan sin
15、cos cos sin sin2cos2sin cos 2cos 2sin 2 2 32122 3 规律总结(1)化简常用方法：直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；切化弦、异名化同名、异角化同角等(2)化简常用技巧：注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；注意利用角与角之间的隐含关系，如2()()，()等；注意利用“1”的恒等变形，如tan 451，sin2cos21等1(2017烟台模拟)4cos 50tan 40()A 2 B2 32 C 3 D2 21C 解析 先切化弦，然后通分化简求解即可4cos 50tan 404cos 50sin 40cos 404cos 50cos 40si
16、n 40cos 404sin 40cos 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 402sin6020sin6020cos 4032 cos 2032sin 20cos 40 3cos 40cos 40 32 (2017 福 建 省福州 市 高 三 综合 质 量检 测)已 知 m tantan，若 sin2()3sin2，则 m()A.12 B.34 C.32 D2解析 设 A，B，则 2()AB,2AB，因为 sin2()3sin2，所以 sin(AB)3sin(AB)，即 sinAcosBcosAsinB3(sinAcosBcosAsinB)，即 2cosAsinBs
17、inAcosB，所以 tanA2tanB，所以 mtanAtanB2，故选 D.答案 D3若 sin2 55，sin()1010，且 4，32，则 的值是_解析 因为 4，故 22，2，又 sin2 55，故22，4，2，cos22 55，32，故 2，54，于是 cos()3 1010，cos()cos2()cos2cos()sin2sin()2 55 3 1010 55 1010 22，且 54，2，故 74.答案 74(2017全国卷，17)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(AC)8sin2B2.(1)求 cos B；(2)若 ac6，ABC 的面积为
18、2，求 b命题方向3 解三角形解析(1)由题设及 ABC 得 sin B8sin2B2，故 sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150，解得 cos B1(舍去)，或 cos B1517故 cos B1517(2)由 cos B1517得 sin B 817，故 SABC12acsin B 417ac又 SABC2，则 ac172 由余弦定理及 ac6 得 b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362172(11517)4所以 b22角度 2(2017辽宁师大附中模拟)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，
19、且满足 asinBcosCcsinBcosA12b，则 B()A.6或56 B.3 C.6 D.56解析 asinBcosCcsinBcosA12b，由正弦定理可得 sinAsinBcosCsinCsinBcosA12sinB.又sinB0，sinAcosCsinCcosA12，解得 sin(AC)sinB12.0B，B6或56.故选 A.答案 A3角度 3(2017威海模拟)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC 面积的最大值为_解析 由正弦定理得，(2b)(ab)(cb)c，又 a2，所以 b2c2bc4
20、，所以 cosAb2c242bc bc2bc12，故 A3.因为 b2c22bc，所以 bc4，所以 SABC12bcsinA124 32 3，当且仅当 bc 时取等号答案 3 规律总结 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口1(2017威海二模)已知等腰ABC 满足 ABAC，3BC2AB，点 D 为 BC边上的一点且 ADBD，则 sinADB 的值为()A 36 B 23 C2 23 D 63C 解析 如图，设 ABACa，ADBDb，
21、由 3BC2AB，得 BC2 33 a，在ABC 中，由余弦定理得，cosABCAB2BC2AC22ABBCa22 3a3 2a22a2 33 a 33 ABAC，ABC 是锐角，则 sinABC 1cos2ABC 63，在ABD 中，由余弦定理得 AD2AB2BD22ABBDcosABD，b2a2b22ab 33，解得 a2 33 b，由正弦定理得，ADsinABDABsinADB，b63asinADB，解得 sinADB2 23 2在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 acos Bbcos(BC)0.(1)证明：ABC 为等腰三角形；(2)若 2(b2c2a2)bc，求 cos Bcos C 的值 解析(1)证明：acos Bbcos(BC)0，由正弦定理得sin Acos Bsin Bcos(A)0，即sin Acos Bsin Bcos A0，sin(AB)0，ABk，kZ A，B是ABC的两内角，AB0，即AB，ABC是等腰三角形(2)由 2(b2c2a2)bc，得b2c2a22bc14，由余弦定理得 cos A14，cos Ccos(2A)cos 2A12cos2A78AB，cos Bcos A14，cos Bcos C147898