1、34函数的应用(一)新课程标准解读核心素养1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具数学抽象、数学建模2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律数学建模、数学运算随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份201820192020销量/万辆81830结合以上三年的销量及人们生活的需要，2021年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标问题(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？(2)你认为该目标能够实现吗？知识点常见的几类函数模型函数模型函
2、数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)分段函数模型f(x)幂函数模型f(x)axb(a，b，为常数，a0)1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系()(2)函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义()(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了()答案：(1)(2)(3)2随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系，当x36 kPa时，y108 g/m3，则y与x的函
3、数关系式为()Ay3x(x0)By3xCyx(x0) Dyx答案：A3一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为_答案：y20x(0x20)一次函数模型的应用例1(链接教科书第93页例1)某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？解设每天从报社买进x(250x400)份报纸；每月所获利润是y元
4、，则每月售出报纸共(20x10250)份；每月退回报社报纸共10(x250)份依题意得y(0.400.24)(20x10250)(0.240.08)10(x250)即y0.16(20x2 500)0.16(10x2 500)，化简得y1.6x800(250x400)此一次函数(ykxb，k0)的k1.60，y是一个单调增函数，再由250x400知当x400时，y取得最大值，此时y1.64008001 440(元)每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1 440元利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；(2)当一次项系数为正时，一次
5、函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数 跟踪训练商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种优惠活动：(1)买一只茶壶赠送一只茶杯；(2)按购买总价的92%付款某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只(不少于4只)，若购买x只茶杯时总付款为y元，试分别建立两种优惠活动中y与x之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种优惠活动？解：设优惠活动(1)，(2)对应的付款分别为y1元，y2元由优惠活动(1)得函数关系式为y12045(x4)5x60(x4，xN*)由优惠活动(2)得函数关系式为y2(2045x)92%4.6x73.6(x4，xN*)
6、当该顾客购买茶杯40只时，采用优惠活动(1)应付款y154060260(元)；采用优惠活动(2)应付款y24.64073.6257.6(元)由于y2y1，故应选择优惠活动(2).二次函数模型的应用例2(链接教科书第95页习题2题)十一长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费，消耗费用等等)受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元设每个房间每天的房价增加x元(x0且x为10的整数倍)(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数
7、关系式及自变量x的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少元？解(1)y50x(0x160，且x是10的整数倍)(2)W(180x20)x234x8 000(0x160，且x是10的整数倍)(3)由(2)得Wx234x8 000(x170)210 890，当x170时，W随x的增大而增大又0x160.当x160时，W最大10 880，则y50x34.故一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10 880元解决未知函数模型的实际问题时，主要抓住四点：“求什么，设什么，列什么，限制什么”(1)“求什么”
8、就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务，通常表现为求函数值；(2)“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素，找出变化的根源，通常设变化的根源为自变量；(3)“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式，用自变量与已知量表示函数值，直至求出函数解析式；(4)“限制什么”就是指自变量应满足的限制条件，不仅要考虑自变量是否有意义，还要考虑用自变量表示的其他所有量是否有意义，另外还要考虑变量的实际含义，如整数解等 跟踪训练如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部
9、刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_ m.解析：若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系，则抛物线的对称轴为直线x1.设抛物线方程为yax22ax2.5，当x0.5时，y0.25aa2.51，解得a2.y2(x1)20.5.绳子的最低点距地面的距离为0.5 m.答案：0.5幂函数模型的应用例3在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流
10、量解(1)由题意，得Rkr4(k是大于0的常数)(2)由r3 cm，R400 cm3/s，得k34400，k，流量R的函数解析式为Rr4.(3)Rr4，当r5 cm时，R543 086(cm3/s). 幂函数模型的应用求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式；(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式 跟踪训练某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(单位：万元)与药品利润y(单位：万元)存在的关系为yxa(a为常数)，其中x不超过5万元已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为_万元解析：由已知投
11、入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入yxa中，得3a27，解得a3，故函数解析式为yx3.所以当x5时，y125.答案：125分段函数模型的应用例4 (链接教科书第94页例2)某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5tt2(万元)(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？解(1)当05时，产品只能售出5
12、00件所以年利润f(x)即f(x)(2)当05时，f(x)1 000，解得x233.3，故每天至少需要卖出234张门票1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A310元B300元C290元 D280元解析：选B由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设yaxb(a0)，将(1，800)，(2，1 300)代入得a500，b300.故y500x300，当x0时，y300.2从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h30t5t2，那么小球从抛出至回落
13、到地面所需要的时间是()A6 s B4 sC3 s D2 s解析：选A令h30t5t20，得t0或t6.故小球从抛出至回落到地面所需要的时间为606(s)，故选A.3某数学练习册，定价为40元若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券某班购买x(xN*，x40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为_(代金券相当于等价金额)解析：当0x10时，f(x)40x；当10x20时，f(x)35x10；当20x40时，f(x)30x20.所以f(x).答案：f(x)4某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，且K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元解析：L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500，当Q300时，L(Q)取得最大值，最大值为2 500万元答案：2 500