1、中档大题规范练导数的应用1已知函数f(x)x32x1，g(x)ln x.(1)求F(x)f(x)g(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实常数k和m，使得x0时，f(x)kxm且g(x)kxm？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由解(1)由F(x)x32x1ln x(x0)，得F(x)(x0)，令F(x)0得x1，易知F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而F(x)的极小值为F(1)0.(2)易知f(x)与g(x)有一个公共点(1,0)，而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为yx1，下面只需验证都成立即可设h(x)x32x1(x1)(x0)，则h(x)3x233(
2、x1)(x1)(x0)易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)0，所以f(x)x1恒成立设k(x)ln x(x1)，则k(x)(x0)易知k(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以k(x)的最大值为k(1)0，所以g(x)x1恒成立故存在这样的实常数k1和m1，使得x0时，f(x)kxm且g(x)kxm.2设函数f(x)ax3bx2cx在区间0,1上单调递增，在区间(，0)，(1，)上单调递减，又f().(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间0，m(m0)上恒有f(x)x成立，求m的取值范围解(1)f(x)3ax22bxc，由已
3、知f(0)f(1)0，即解得所以f(x)3ax23ax，所以f()，所以a2，b3，所以f(x)2x33x2.(2)令f(x)x，即2x33x2x0，所以x(2x1)(x1)0，所以0x或x1.又f(x)x在区间0，m上恒成立，所以0m.3已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解(1)由题意得f(x)3ax22xb，因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(
4、3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22.令g(x)0，解得x1，x2，则当x时，g(x)0，从而g(x)在区间(， )，(，)上是减函数；当x0，从而g(x)在区间(，)上是增函数由上述讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).4甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得
5、一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)(1)将乙方的年利润(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？解(1)因为赔付价格为S 元/吨，所以乙方的实际年利润为2 000St.S，令0，得tt0()2.当t0；当tt0时，0，所以tt0时，取得最大值因此乙方获得最大利润的年产量t0()
6、2(吨)(2)设甲方净收入为v元，则vSt0.002t2将t()2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：v.又v，令v0，得S20.当S0；当S20时，v0，所以S20时，v取得最大值因此甲方向乙方要求的赔付价格S20(元/吨)时，获得最大净收入5已知函数f(x)ln x，aR.(1)若函数f(x)在2，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值为3，求实数a的值解(1)f(x)ln x，f(x).f(x)在2，)上是增函数，f(x)0在2，)上恒成立，即a在2，)上恒成立令g(x)，则ag(x)min，x2，)，g(x)在2，)上是增函数，g(
7、x)ming(2)1.a1.实数a的取值范围为(，1(2)由(1)得f(x)，x1，e若2a0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上是增函数f(x)minf(1)2a3，解得a(舍去)若12ae，令f(x)0，得x2a.当1x2a时，f(x)0，f(x)在(1,2a)上是减函数，当2ax0，f(x)在(2a，e)上是增函数f(x)minf(2a)ln(2a)13，解得a(舍去)若2ae，则x2a0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上是减函数f(x)minf(e)13，得ae.适合题意综上ae.6已知函数f(x)aln xax2bx(a0)(1)若函数f(x)的
8、图象在x1处的切线方程为y3xb，求a、b的值；(2)若a2时，函数f(x)是增函数，求实数b的取值范围；(3)设函数g(x)ln x的图象C1与函数h(x)f(x)ag(x)的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由解(1)函数f(x)aln xax2bx的定义域为(0，)，f(x)axb，当x1时，f(1)2ab3，f(1)ab，所以函数f(x)的图象在x1处的切线方程为y(ab)3(x1)，即y3x(ab3)，所以ab3b，解方程组得ab1.(2)由(1)知，f(x)2xb，则f(x)0在(0，)上恒成立，即b2x在(0，)上恒成立，因为2x24(当且仅当x1时等号成立)，所以2x4，所以b4，故实数b的取值范围为4，)(3)设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且0x11，则ln u，u1，令r(u)ln u，u1，则r(u).因为u1，所以r(u)0，所以r(u)在(1，)上单调递增，故r(u)r(1)0，则ln u，这与矛盾，故假设不成立即不存在满足题意的点R.
