1、课时跟踪检测(五十四)简单的三角恒等变换A级基础巩固1已知，cos ，则tan()A3B3C. D解析：选D因为，且cos ，所以，tan .2若sin()且，则sin等于()A BC. D.解析：选B由题意知sin ，所以cos .因为，所以sincos .故选B.3设acos 6sin 6，b2sin 13cos 13，c，则有()Acba BabcCacb Dbca解析：选Cacos 6sin 6sin(306)sin 24，b2sin 13cos 13sin 26，c (cos 20sin 20)sin 25，ysin x，x(0，90)函数是增函数，所以acb，故选C.4(多选)下列
2、各式与tan 相等的是()A. B.C. (0，)D.解析：选CDA不符合， |tan |；B不符合，tan ；C符合，因为(0，)，所以原式 tan ；D符合，tan .5若，则()A2sin cos Bcos 2sin Ccos Dcos 解析：选D，cos 0.1sin sin2cos22sin cos ，(1cos )sin2， sin cos sin cos .6求值sin _解析：sin .答案：7化简：_解析：原式2cos .答案：2cos 8周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成的一个大的正方形，如图若图中直角三角形的两个锐角分别为，且小正方
3、形与大正方形的面积之比为916，则cos()_解析：设大正方形的边长为4，依题意得小正方形的边长为3.因此4cos 4sin 3cos sin ，4sin 4cos 3sin cos .，得sin cos sin sin cos cos sin cos .又sin cos ，cos sin ，sin2(cos cos sin sin )cos2，cos()1.答案：9求证：tan.证明：左边tan右边所以原等式成立10已知为钝角，为锐角，且sin ，sin ，求cos 与tan 的值解：因为为钝角，为锐角，sin ，sin ，所以cos ，cos .所以cos()cos cos sin sin
4、 .因为，且0，所以0.法一：由0可得，0，所以cos ，sin .所以tan .法二：同法一，求得cos .由0，cos()，得sin() .所以tan .B级综合运用11(多选)已知函数f(x)cos 2x2sin xcos x，则下列结论中正确的是()A存在x1，x2，当x1x2时，f(x1)f(x2)成立Bf(x)在区间上单调递增C函数f(x)的图象关于点对称D函数f(x)的图象关于直线x对称解析：选AC易知f(x)2sin2sin，f(x)的最小正周期T，A正确；令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，f(x)的单调递增区间为(kZ)，B错误；对称中心的横坐标满足2xk(kZ)，x
5、(kZ)，当k1时，x，C正确；f2sin2，D错误故选A、C.12.如图，以长为10的线段AB为直径作半圆O，则它的内接矩形MPQN面积的最大值为()A10 B15C25 D50解析：选C连接ON(图略)，设BON，则矩形面积S5sin 25cos 50sin cos 25sin 2，当sin 21时，S取得最大值25，故Smax25.13设为第四象限角，且，则tan 2_解析：2cos 21，所以cos 2，又是第四象限角，所以sin 2，tan 2.答案：14已知函数f(x)sin2xasin xcos xcos2x，且f1.(1)求常数a的值及f(x)的最小值；(2)当x时，求f(x)
6、的单调增区间解：(1)f1，sin2asincoscos21，解得a2.f(x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，sin有最小值1，则f(x)的最小值为.(2)令2k2x2k(kZ)，整理得kxk(kZ)又x，0x.当x时，f(x)的单调递增区间是.C级拓展探究15如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼设扇形的半径OMR，MOP4
7、5，OB与OM之间的夹角为.(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数；(2)若R45 m，求当为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取1.414)解：(1)由题意，可知点M为的中点，所以OMAD.设OM与BC的交点为F，则BC2Rsin ，OFRcos ，所以ABOFADRcos Rsin ，所以SABBC2Rsin (Rcos Rsin )R2(2sin cos 2sin2)R2(sin 21cos 2)R2sinR2，.(2)因为，所以2，所以当2，即时，S有最大值Smax(1)R2(1)4520.4142 025838.35(m2)故当时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.
