1、20132014学年奉贤区调研测试高三数学试卷(理科) 2014.4 （考试时间：120分钟，满分150分） （本卷可能用到的公式）一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分)1、函数的反函数为_.2、设（，是虚数单位），满足，则_.3、如果函数的图像过点，_.开 始S=0，n=1S =S+sinn=n+1输出S结 束否是第4题图20144、执行如图所示的程序框图，输出的S的值为_.5、若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是_.6、在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则
2、各项的二项式系数之和为_（答案用数值表示）.7、若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_.8、将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有_种不同的取法.9、极坐标系中，极点到直线（其中、为常数）的距离是_.10、已知函数， 则方程的解是_.11、已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为_.12、定义在上的函数满足：当时，设关于的函数的零点从小到大依次记为，则_.13、从1，2，3，这个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为
3、，则_.14、以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为；，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则=_.二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.BACDA1B1C1D1第15题（理）图15、已知长方体，下列向量的数量积一定不为的是 （ ） A B C D16、设数列，以下说法正确的是（ ）A若，则为等比数列B若，则为等比数列C若，则为等比数列D若，则为等比数列17、下列命
4、题正确的是( ) A若,则 B若则 C若,则 D若,则18、已知,且设，设，则是 的（ ）A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、如图，在直三棱柱中，若为的中点，求直线与平面所成的角.A1B1C1DBAC(理19题图)20、已知函数， （1）若，试判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，求证函数存在反函数21、某人沿一条折线段组成的小路前进，从到，方位角（从正北方向顺时针转到方向所成的角）是，距离是3km；从到，方位角是110，距离是3km；从到
5、，方位角是140，距离是（）km.试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.22、如图，已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为，线段的长为.（1）求动点的轨迹；（2）当时，过点作直线与轨迹交于、两点，且点在线段的上方，线段的垂直平分线为求的面积的最大值；轨迹上是否存在除、外的两点、关于直线对称，请说明理由.23、若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.（1）判断下列函数：；中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：对任意的正奇数，函数不是等比源函数；（3）证明：任意的，函数都是等比源函数.20132014学年奉贤区调研测试高三数学
6、试卷(理科)参考答案 2014.4一、填空题（每小题4分，共56分）1.（理）2.3.4.5. 6.7.8.9.10.(理)， 11.（理）12.(理)， 13.（理）14.二、选择题（每小题5分，共20分）15.（理）D16. C17. D18. A三、解答题19、（理）【解】方法一：如图1以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建系，则，则 2分；(理19题图)设平面A1BC1的一个法向量，则，则，取，则 6分设AD与平面A1BC1所成的角为，GOA1B1C1DBAC(理19题图)则= 10分则,AD与平面A1BC1所成的角为 12分方法二：由题意知四边形AA1B1B是正方形，故
7、AB1BA1由AA1平面A1B1C1得AA1A1C1又A1C1A1B1，所以A1C1平面AA1B1B，故A1C1AB1从而得 AB1平面A1BC1 4分设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点连接AC1，由题意知AB1C1是正三角形由AD，C1O是AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG知AB1平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影，于是AGO是AD与平面A1BC1所成的角 6分在直角AOG中，AGADAB1AB， AOAB，所以sinAGO 10分故AGO60，即AD与平面A1BC1所成的角为60 12分20、【解】 (1)判断：若，函数在上是增函数
8、. 证明：当时， 在上是增函数. 2分在区间上任取，设， 所以，即在上是增函数. 6分 (2) （理）因为，所以 8分 当时，在上是增函数， 9分 证明：当时，在上是增函数（过程略） 11分在在上也是增函数 当时，上是增函数 12分 所以任意一个，均能找到唯一的和它对应，所以时，存在反函数 14分(2) （文）因为，所以 8分当时，在上是增函数， 9分 证明：当时，在上是增函数（过程略） 11分在在上也是增函数 当时，在上是增函数 12分 证明：当时，在上是增函数（过程略） 13分 所以当时，取得最大值为； 14分 21、【解】示意图，如图所示， 4分连接AC，在ABC中，ABC=50+(18
9、0-110)=120,又AB=BC=3，BAC=BCA=30 由余弦定理可得 7分在ACD中，ACD=360-140-(70+30)=120,CD=3+9.由余弦定理得AD=(km). 10分由正弦定理得sinCAD= 12分CAD=45,于是AD的方位角为50+30+45=125, 13分所以，从A到D的方位角是125，距离为km. 14分22、（理）【解】（1）当即时，轨迹是以、为焦点的椭圆 3分当时，轨迹是线段 4分当时，轨迹不存在 5分（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，可得轨迹的方程为 7分解法1：设表示点到线段的距离， 8分要使的面积有最大值，只要有最大
10、值当点与椭圆的上顶点重合时， 的最大值为 10分解法2：在椭圆中，设，记点在椭圆上，由椭圆的定义得：在中，由余弦定理得：配方，得：从而得 8分根据椭圆的对称性，当最大时，最大当点与椭圆的上顶点重合时，最大值为 10分结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称 11分下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称 12分证法1：假设存在这样的两个不同的点设线段的中点为 直线由于在上，故 又在椭圆上，所以有两式相减，得将该式写为，并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，得 14分、得，由（1）代入得即的中点为点，而这是不可能的.此时不存在满足题设条件的点和. 16分证法2：假设存在这样的两个不同的点， 14分则，故直线经过原点。 15分直线的斜率为，则假设不成立， 故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称 16分23、（理）【解】（1）都是等比源函数. 4分（2）证明：假设存在正整数且，使得成等比数列， ，整理得， 等式两边同除以得.因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式不可能成立，所以假设不成立，说明对任意的正奇数，函数不是等比源函数 10分（3）因为任意的，都有，所以任意的，数列都是以为首项公差为的等差数列. 由，（其中）可得 ，整理得 ， 令，则， 所以， 所以任意的，数列中总存在三项成等比数列.所以任意的，函数都是等比源函数. 18分