1、北京市中国人民大学附属中学2021届高三数学上学期统练试题三（含解析）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合然后根据集合运算即可得出答案.【详解】解：由得，所以，由得，所以，所以，故选：B.【点睛】集合基本运算的方法技巧:（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解，对于端点处的取舍，可以单独检验.2. 已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=A. B. 7C.
2、6D. 【答案】A【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想3. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意将化为即可求解.【详解】.故选：A.4. 如图，向量等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算可得结果.【详解】如图：设，则，故选：C5. 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，利用指数函数的单调性得到，然
3、后再逐项判断.【详解】因为，所以由指数函数的单调性得：A. 当时，故错误；B. 当时，故错误；C. 当时，故错误；D. 因为幂函数在R上是增函数，所以，故正确；故选：D6. 函数图像A. 关于原点对称B. 关于主线对称C. 关于轴对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】因为函数的定义域为(-2,2),又因为所以函数f(x)为奇函数，所以关于原点对称.7. 已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数图象得到，根据周期即可求得，然后再根据函数图象过点，代入即可求解.【详解】解：由图像可知，即，又，即，即，解得：，又， ，即.故选：D
4、.8. 函数在的图像大致为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又排除选项D；，排除选项A，故选B【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查9. 若曲线与曲线在交点处有公切线，则（ ）A. B. 0C. 2D. 1【答案】D【解析】分析：由曲线与曲线在交点出有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解详解：由曲线，得，则，由曲线，得，则，因为曲
5、线与曲线在交点出有公切线，所以，解得，又由，即交点为，将代入曲线，得，所以，故选D点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力10. 已知a，b是不相等的两个正数，在a，b之间插入两组实数：x1，x2，xn和y1，y2，yn，（nN*，且n2），使得a，x1，x2，xn，b成等差数列，a，y1，y2，yn，b成等比数列，给出下列四个式子：；.其中一定成立的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据等差数列的性质，求得，结合差比较法，判断的真假性.根据等比数列的性质求得，结
6、合基本不等式，判断的真假性.【详解】依题意成等差数列，令，则，两式相加，利用等差数列的性质化简得，所以.所以正确.所以，而，由于是不相等的正数，所以，所以成立，所以正确.依题意成等比数列，设其公比为，则.当为负数时，则必为奇数，此时，所以不正确. 由的分析可知，当为负数时，则必为奇数，且，所以；当为正数时，由于是不相等的正数，所以由基本不等式可知.所以正确.故选：B【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的性质，考查基本不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知幂函数的图象过点，则_【答案】3【解析】【分析】先利用
7、待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.【详解】设，由于图象过点,得，故答案为3.【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.12. 在中，角，所对的边分别为，且，则_；若，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先用两角和的正弦展开 ，根据，得到求解. 根据，求得，再利用正弦定理求解.【详解】在中， 所以 ，因为所以，解得 ，若，由正弦定理得：.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，两角和的正弦以及正弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13. 在平面直角坐标系中，已知点、，
8、、是轴上的两个动点，且，则的最小值为_【答案】-3【解析】【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|ab|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值【详解】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；a=b+2，或b=a+2；且；当a=b+2时，；b2+2b2的最小值为；的最小值为3，同理求出b=a+2时，的最小值为3故答案为：3【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式14. 已知二次函数f（x）=x2-mx+6（mR），若f（x）在区
9、间（1，3）内恰有一个零点，则实数m的取值范围是_.【答案】25，7）【解析】【分析】由分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】令，当时，有.令，所以在上递减，在上递增，在时有最小值为.，.因为在区间内恰有一个零点，所以或故答案为：【点睛】本小题主要考查根据零点的分布求参数的取值范围，属于基础题.15. 若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 【答案】2，【解析】【分析】对任意的nN*，ann2，可得0，1，可得1，4，9，猜想出：n2【详解】对任意的nN*，ann2，则0，1，3，1，4，9，猜
10、想：n2故答案为2，n2【点睛】本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了猜想能力、计算能力，属于中档题三、解答题共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知，记函数（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设函数在区间是减函数，求实数的最大值【答案】（1） ；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数，根据三角函数图像和性质令，求出的取值集合；（2）求出函数单调减区间，当时的减区间为，并且，所以即可求得实数的最大值.【详解】（1）由题意，得，当取最大值时，即，此时所以的取值集合为（2）由得，所以的减区间，当，得是一个减区间，且所以，所以， 所以的
11、最大值为.【点睛】思路点睛：三角恒等变换综合应用的解题思路：（1）利用降幂、升幂公式将化为的形式；（2）构造；（3）和差公式逆用，得 (其中为辅助角，)；（4）利用研究三角函数的性质；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范17. 已知数列an满足：a1=1，记.（1）求b1，b2的值；（2）证明：数列bn等比数列；（3）求数列an的通项公式.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）an.【解析】【分析】（1）根据递推关系式，求得的值.（2）根据递推关系式，推导出，由此证得是等比数列.（3）由（1）求得数列通项公式，由此求得的表达式，进而的表达式，从而求得数列的通项公式.【详解】（1）a1
12、=1，记.b1=a2a1+11.a3=a244.b2=a4a3+31a3+22.（2）bn=a2na2n1+2n2，n2时，a2n1=a2n22（2n2）=a2n24n+4.bna2n1+2n2（a2n24n+4）+2n2a2n2bn1，n=1时，b2b1.数列bn是等比数列，首项与公比都为.（3）解：由（2）可得：bn.a2n.又a2na2n1+2n2.解得：a2n144n.综上可得：数列an的通项公式：an，kN*.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查等比数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18. 已知函数，（I）若的极值为，求的值；（）若时，恒成立，
13、求的取值范围【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）求导，然后根据的极值为，分，讨论求解. （II），由时，恒成立，分， 讨论，由求解即可.【详解】（I），.，当时，恒成立，故无极值点，当时，令，则， 当时，时， 所以，在区间上递减，在区间上递增，所以当且仅当时，取到极小值， ，设函数，当时，时， 在区间上递增，在区间上递减，在时取得最大值，所以是唯一解 （II），(1)当时，在单调递增，不恒成立.(2)当时，在单调递增，恒成立.-(3)当时，在单调递减，在单调递增，令，在单调递减，单调递增，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 在上单调递增，恒成立，恒成立. 综上：【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若在区间D上有最值，则；若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.
