1、2019-2020学年第二学期高二期中考试(文科)数学试卷一、选择题1.设复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由复数的乘法化简得到，然后利用复数的几何意义求解.【详解】因为，使用复数z在复平面内对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.点的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在点极径不变，在极角的基础上加上，可得出与点关于极点对称的点的一个极坐标【详解】设点关于极点的对称点为，则,，所以点的一个极坐标为.故选
2、C【点睛】本题考查点的极坐标，考查具备对称性的两点极坐标之间的关系，把握极径与极角之间的关系，是解本题的关键，属于基础题3.根据如下样本数据得到的回归方程为.若，则每增加个单位，就（ ）A. 增加个单位B. 减少个单位C. 增加个单位D. 减少个单位【答案】B【解析】【分析】根据回归直线的斜率可得出结论.【详解】回归直线方程为，回归直线的斜率为，因此，每增加个单位，就减少个单位.故选：B.【点睛】本题考查利用回归直线方程对总体数据进行估计，考查计算能力，属于基础题.4.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）A. 圆、直线B. 直线、圆C. 圆、圆D. 直线、直线【答案】A【解析
3、】【分析】直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换【详解】解：极坐标方程，转换为直角坐标方程为.参数方程（参数）转换为直角坐标方程为.所以表示的为圆和直线.故选：A.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型5.设直线参数方程为（为参数），则它的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将直线的参数方程化为普通方程，可求得直线的斜率，进而可得出该直线的倾斜角.【详解】在直线的参数方程中消去参数得，即，该直线的斜率为，倾斜角为.故选：A.【点睛】本题考查利用直线的参数方程求直
4、线的倾斜角，解答的关键就是将直线的参数方程化为普通方程，考查计算能力，属于基础题.6.设点对应的复数为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件得到点的坐标为，然后算出和即可.【详解】因为点对应的复数为，所以点的坐标为所以因为点在第二象限，所以所以点的极坐标为故选：A【点睛】本题考查的是复数的几何意义和直角坐标与极坐标的互化，属于基础题.7.若复数为纯虚数（为虚数单位，为实数），则的值为（ ）A. 4B. 9C. D. 1【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得的值，然后
5、可得答案【详解】为纯虚数，解得故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，基础题8.已知函数f（x）ax2+2bx的图象在点（1，f（1）处的切线方程为y4x+3，则ba（ ）A. 8B. 20C. 8D. 20【答案】C【解析】【分析】求得f (x)的导数，即可得切线的斜率，结合切线方程可得f (1)，解方程即可得解【详解】函数f (x)ax2+2bx导数为2ax+2b，可得函数的图象在点(1，f (1)处的切线斜率为2a+2b=4，由切线方程为y4x+3，可得f (1)= a+2b4+3=7，所以a3，b5，所以ba8故选：C【点睛】本题考查了导数的运算及导数几何意
6、义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题9.圆的圆心极坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将极坐标方程转化为普通方程求出圆心的直角坐标，再由公式求出点的极坐标即可【详解】两边都乘以得，将代入， ，圆心直角坐标是，即，故圆心极坐标是故选：C.【点睛】本题考查简单曲线圆的极坐标方程，解答的关键是圆的极坐标转化为普通方程，写出圆心坐标，再将其转化为极坐标本题属于基本题10.已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【详解】直线的普
7、通方程为,即,点到直线的距离,故选D.【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.11.若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由参变量分离法得出恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最大值，进而可求得实数的取值范围.【详解】由题意得恒成立，设，令，则，当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，故. 因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，用参变分离法，利用导数求出函数最值即可，属于中等题.12.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐
8、标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，直线与曲线相交于两点，当的面积最大时，( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将直线直线与曲线转化为普通方程，结合图形分析可得，要使的面积最大，即要为直角，从而求解出【详解】解：因为曲线的方程为，两边同时乘以，可得，所以曲线的普通方程为，曲线是以为圆心，2为半径的上半个圆.因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的普通方程为，因为，所以当为直角时的面积最大，此时到直线的距离 ，因为直线与轴交于，所以，于是，所以，故选D【点睛】本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的
9、核心思想二、填空题13.已知复数（为虚数单位），则_.【答案】【解析】【分析】化简得到，得到模长.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力.14.用反证法证明“设，求证”时，第一步的假设是_【答案】【解析】【分析】根据反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立即可得解；【详解】解：用反证法证明“设，求证”， 第一步为假设结论不成立，即假设故答案为：【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则
10、结论成立在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定15.给出下面类比推理：“若，则”类比推出“若，则”；“”类比推出“”；“、，若，则”类比推出“、，若，则”；“、，若，则”类比推出“、，若，则 （为复数集）”.其中结论正确序号的是_.【答案】【解析】【分析】举特例可判断的正误；利用等式的性质可判断的正误；利用复数相等可判断的正误；利用虚数不能比较大小可判断的正误.综合可得出结论.【详解】对于，取，但，故错误；对于，当时，故正确；对于，在复数集中，若、，若，则，故正确；对于，在复数集中，取，则，但与不能比大小，故错误
11、.故答案为：.【点睛】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事务之间的相似性或一致性；（2）用一类事务的性质去推测另一类事务的性质，得出一个明确的命题（猜想），但类比推理的结论不一定正确，还需要证明.16.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，则曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】将曲线的极坐标方程化为普通方程，可知曲线为椭圆，求得、的值，进而可求得椭圆的离心率的值.【详解】曲线的极坐标方程为，化为普通方程得，即，因此，曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，解答的关键在于将椭圆的极坐标方程化为普通方程，考查计算能力，属于基础题.三、
12、解答题17.在极坐标系中，已知圆的圆心极坐标为，且圆经过极点，求圆的极坐标方程.【答案】【解析】【分析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步求出结果【详解】解：因为的直角坐标为，半径，所以圆的直角坐标方程为，即，故圆的极坐标方程为，即【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型18.某研究部门为了研究气温变化与患新冠肺炎人数多少之间的关系，在某地随机对人进行了问卷调查；得到如下列表：（附）高于不高于合计患新冠肺炎不患新冠肺炎合计（1）求、的值；（2）是否有的把握认
13、为患新冠肺炎与温度有关，说明你的理由；【答案】（1），；（2）有的把握认为患新冠肺炎与温度有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据表格中的数据可计算出、的值；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（1）由表格中的数据可得，；（2），因此，有的把握认为患新冠肺炎与温度有关.【点睛】本题考查列联表的完善，同时也考查了独立性检验基本思想的应用，考查计算能力，属于基础题.19.某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气数值的影响，进而唤醒全市人民的环保节能意识.对该市取暖季烧煤天数与空气数值不合格的天数进行统计分析，得出表数据：（天）（天）（1）以统计数据为依据，求出关于的
14、线性回归方程；（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测该市烧煤取暖的天数为时空气数值不合格的天数.参考公式：，.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出、的值，可得出回归直线方程；（2）利用回归直线方程，通过，代入可预测该市烧煤取暖的天数为天时空气不合格的天数.【详解】（1）由表格中的数据可得，所以，回归直线方程为；（2）根据（1）中所求的回归直线方程，当时，预测该市烧煤取暖的天数为天时空气数值不合格的天数为天.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归直线方程对数据进行预测，考查计算能力，属于基础题.20.已
15、知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，设、中点为，求弦长以及.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程化为（为参数），并设点、所对应的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，列出韦达定理，利用的几何意义结合弦长公式可求得弦长以及.【详解】（1）在直线的参数方程中消去参数得，即.曲线的极坐标方程为，即，即；（2）将直线的参数方程化为（为参数），设点、所对应的参数分别为、，将直线的参
16、数方程与曲线的普通方程联立，消去、得，.由韦达定理得，.因此，.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数，（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）当时，求函数的极值.【答案】（1）2（2）当时，没有极值；当时，极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）当时，可得：.，得或，列出函数单调性表格，即可最大值；（2），令，得或，分别讨论和，即可求得的极值.【详解】（1）当时，所以.令，得或，列表如下：-2-11+0-0+极大值极小值由于，所以函数在区间上的最大值为2.（2），令，得或.当时，所以函数在上单
17、调递增，无极值.当时，列表如下：+0-0+极大值极小值函数的极大值为，极小值为.【点睛】本题主要考查根据导数求函数单调性和极值，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值定义，考查分析能力和计算能力，属于中档题.22.以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，点的轨迹为（1）求曲线极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）若点，直线的参数方程（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设点极坐标分别为,，由可得,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程；（2）设点对应的参数分别为，则，将直线的参数方程代入的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得，则，求得取最小值时符合的条件,进而求得直线的普通方程.【详解】（1）设点极坐标分别为，因为,则，所以曲线的极坐标方程为，两边同乘,得，所以直角坐标方程为,即.（2）设点对应的参数分别为，则,，将直线的参数方程（参数），代入的直角坐标方程中，整理得.由韦达定理得，所以，当且仅当时，等号成立，则，所以当取得最小值时，直线的普通方程为.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系