1、数 学 大二轮复习第一部分专题4 函数与方程及函数的应用全程方略课件1 高考考点聚焦 2 核心知识整合 3 高考真题体验 4 命题热点突破 5 课后强化训练 高考考点聚焦 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对函数零点的理解，掌握函数的零点与方程根的关系(2)掌握研究函数零点、方程解的问题的方法(3)熟练掌握应用函数模型解决实际问题的一般程序预测2020年命题热点为：(1)函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化问题(2)将实际背景常规化，最后归为二次函数、高次式、分式及分段函数或指数式、对数式函数为目标函数的应用问题核心知识整合1几种常见的函数模型(1)一次函
2、数模型：yaxb(a0)(2)二次函数模型：yax2bxc(a0)(3)指数函数模型：yabxc(b0 且 b1)(4)对数函数模型：yblogaxc(a0 且 a1)(5)分段函数模型：f(x)gx，xA1，hx，xA2，(A1A2)2函数的零点(1)函数的零点及函数的零点与方程根的关系 对于函数f(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的_，函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的_零点 横坐标 (2)零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间
3、(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的一个根f(a)f(b)0 (3)思想与方法(1)数学方法：图象法、分离参数法、最值的求法(2)数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程 1忽略概念 函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标 2不能准确应用零点存在性定理 函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点，但存在零点时不一定满足该条件即函数yf(x)在(a，b)内存在零点，不一定有f(a)f(b)0高考真题体验1(2017山东卷，9)设 f(x)x0 x12x1x1，若 f(a)f(a1)，则 f(1a)()A2 B4 C6 D8C
4、 解析 当 a1 时，a12，则 f(a)2(a1)，f(a1)2a，2(a1)2a 不成立当 0a1 时，1a12，f(a)a，f(a1)2a，a2a，a4a2，a14f(1a)f(4)2(41)6，故选 C2(2017昆明一模)设函数 f(x)exx2，g(x)lnxx23.若函数 f(x)，g(x)的零点分别为 a，b，则有()Ag(a)0f(b)Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b)Df(b)g(a)0解析 易知函数 f(x)，g(x)在定义域上都是单调递增函数，且 f(0)10，g(1)20，所以 a，b 存在且唯一，且 a(0,1)，b(1,2)，从而 f(1)f(b)f(2)，
5、g(0)g(a)0，g(a)0，即 g(a)0f(b)答案 A3(文)(2017天津卷，8)已知函数 f(x)|x|2，x1，x2x，x1.设 aR，若关于 x的不等式 f(x)|x2a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是()A2,2 B2 3，2C2,2 3D2 3，2 3A 解析 解法一：f(x)|x2a|在 R 上恒成立，f(x)x2af(x)x2在 R 上恒成立令 g(x)f(x)x2当 0 x1 时，f(x)x2，g(x)x2x232x22，即 g(x)max2当 x0 时，f(x)x2，g(x)x2x2x22，即 g(x)2当 x1 时，f(x)x2x，g(x)x2xx232x
6、2x2 3，即 g(x)max2 3a2令 h(x)f(x)x2当 0 x1 时，f(x)x2，h(x)x2x2x222，即 h(x)min2当 x2，即 h(x)2当 x1 时，f(x)x2x，h(x)x2xx2x22x2，即 h(x)min2a2综上可知，2a2故选 A解法二：若 a2 3，则当 x0 时，f(0)2，而|x2a|2 3，不等式不成立，故排除选项 C，D若 a2 3，则当 x0 时，f(0)2，而|x2a|2 3，不等式不成立，故排除选项 B故选 A(理)(2017天津卷，8)已知函数 f(x)x2x3，x1，x2x，x1.设 aR，若关于 x的不等式 f(x)|x2a|在
7、 R 上恒成立，则 a 的取值范围是()A4716，2 B4716，3916C2 3，2 D2 3，3916A 解析 关于 x 的不等式 f(x)|x2a|在 R 上恒成立等价于f(x)ax2f(x)，即f(x)x2af(x)x2在 R 上恒成立，令 g(x)f(x)x2当 x1 时，g(x)(x2x3)x2x2x23(x14)24716，当 x14时，g(x)max4716；当 x1 时，g(x)(x2x)x2(3x2 2x)2 3，当且仅当3x2 2x，且 x1，即 x2 33 时，“”成立，故 g(x)max2 3综上，g(x)max4716令 h(x)f(x)x2，当 x1 时，h(x
8、)x2x3x2x23x2 3(x34)23916，当 x34时，h(x)min3916；当 x1 时，h(x)x2xx2x22x2，当且仅当x22x，且 x1，即 x2 时，“”成立，故 h(x)min2综上，h(x)min2故 a 的取值范围为4716，2故选 A3(2017全国卷，11)已知函数 f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则 a()A12B13C12D1C 解析 解法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令 tx1，则 g(t)f(t1)t2a(etet)1g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数 g(t)为偶函数f(x)有唯一零点
9、，g(t)也有唯一零点又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)0，2a10，解得 a12故选 C解法二：f(x)0a(ex1ex1)x22xex1ex12 ex1ex12，当且仅当 x1 时取“”x22x(x1)211，当且仅当 x1 时取“”若 a0，则 a(ex1ex1)2a，要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a1，即 a12若 a0，则 f(x)的零点不唯一故选 C4(2017北京卷，8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A1033B10
10、53C1073D1093D 解 析 由 题 意，lg MN lg 33611080 lg 3361 lg 1080 361 lg 3 80lg 103610.4880193.28又 lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393，故与MN最接近的是 1093故选 D5(2016四川卷，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20
11、.30)A2018 年B2019 年C2020 年D2021 年B 解析 设 x 年后该公司全年投入的研发资金为 200 万元，由题可知，130(112%)x200，解得 xlog1.12200130lg 2lg 1.3lg 1.123.80，因资金需超过 200 万，则x 取 4，即 2019 年故选 B6(2016天津卷，8)已知函数 f(x)x24a3x3a，x0 且 a1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|2x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是()A0，23B23，34C13，23 34D13，23 34C 解析 由 yloga(x1)1 在0，)上递减，则
12、 0a2，即 a23时，联立x24a3x3a 2x，则(4a2)24(3a2)0，解得：a34或 1(舍)，当 13a2 时，由图象可知，符合条件综上：a13，23 34 5(2016山东卷)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_解析 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，当 xm 时，f(x)x22mx4m(xm)24mm2，其顶点为(m,4mm2)；当 xm 时，函 数 f(x)的 图 象 与 直 线 x m 的 交 点 为 Q(m，m)当m0，4mm2m，即 0m3
13、时，函数 f(x)的图象如图 1 所示，易得直线 yb 与函数 f(x)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；当4mm20，即 m3 时，函数 f(x)的图象如图 2 所答案(3，)命题热点突破(1)(文)已知函数 f(x)|sinx|，x，lg x，x，x1、x2、x3、x4、x5是方程 f(x)m 的五个不等的实数根，则 x1x2x3x4x5的取值范围是()A(0，)B(，)C(lg，1)D(，10)命题方向1 函数的零点D 解析 在同一坐标系中作出函数yf(x)的图象与直线ym，设两图象交点横坐标从左向右依次为x1、x2、x3、x4、x5，由对称性知x1x2，x3x4，又x5m 其中
14、 m0.若存在实数b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.(3，)解析 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，当 xm 时，f(x)x22mx4m(xm)24mm2，其顶点为(m,4mm2)；当 xm 时，函数 f(x)的图象与直线 xm的交点为 Q(m，m)当m0，4mm2m，即 0m3 时，函数 f(x)的图象如图 1所示，易得直线 yb 与函数 f(x)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；当4mm20，即 m3 时，函数 f(x)的图象如图 2 所示，则存在实数 b满足 4mm20)，则方程 t2mt10 有且只有一个正根设方程 t2mt
15、10 的两根为 t1、t2，则 t1t210，t1与 t2同号，因此方程只能有两个相等的实数解，m20，m240，m2当 m2 时，t1.x0，故函数 f(x)的零点是 x0 规律总结 1判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，f(2)3log2220，f(3)2log230，f(4)64log243220，解得 m1，选 B.答案 B3已知函数 f(x)x3，xa，x2，xa.若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_.(，0
16、)(1，)解析 令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象可得ah(a)，即aa2，解得a1，故a(，0)(1，)(1)(2017合肥一模)已知函数 g(x)xe2x(x0)若 g(x)m 有零点，则实数 m 的取值范围为_.命题方向2 函数与方程的应用2e，)解析 因为 g(x)xe2x2 e22e(x0)，当且仅当 xe2x时取等号所以当 xe 时，g(x)有最小值 2e因此 g(x)m 有零点，只需 m2e所以 m2e，)(2)(2017荆州二模)设函数 f(x)xa，若曲线 ysin x 上存在点(
17、x0，y0)使得 f(f(y0)y0，则 a 的取值范围是_.解析 由已知点(x0，y0)在曲线ysin x上，得y0sin x0，y00,1 即存在y00,1使f(f(y0)y0成立 因为(f(y0)，y0)满足方程f(f(y0)y0，14，0 由于函数 f(x)xa在其定义域内是增函数，所以 f(y0)y0即方程 xax 在0,1内有解，即 ax2x，x0,1当 x0,1时，x2x14，0，故 a 的取值范围是14，0 规律总结 应用函数思想确定方程解的个数的两种方法(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解1(2
18、015江苏高考)已知函数 f(x)|ln x|，g(x)0，01，则方程|f(x)g(x)|1 实数根的个数为_.4 解析 f(x)g(x)ln x，0 x1，x2ln x2，1x2，x2ln x6，x2，当 1x2 时，f(x)g(x)2x1x12x2x0，故当 1x0的图象恰好有 3 个不同的公共点，则实数 m的取值范围是()A(3，4)B(2，)C(2，5)D(3，2 2)答案 B2(2017陕西省宝鸡市高三一检)设函数f(x)2x，x1，log2x，x1，若函数yf(x)k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是_解析 当x12；当x1时，log2x0，依题意函数yf(x)的图象和直线y
19、k的交点有两个，k12.答案 12，经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近 20 天的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满足 g(t)802t(件)，价格近似满足 f(t)2012|t10|(元).(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0t20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值命题方向3 函数的实际应用解析(1)yg(t)f(t)(802t)(2012|t10|)(40t)(40|t10|)30t40t，0t10，40t50t，10t20.(2)当 0t10 时，y 的取值范围是1 200,1 225，当 t5 时，y 取得
20、最大值为 1 225；当 10t20 时，y 的取值范围是600,1 200，在 t20 时，y 取得最小值为 600答：总之，第 5 天日销售额 y 取得最大值为 1 225 元；第 20 天日销售额 y 取得最小值为 600 元规律总结函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题(2)应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答(3)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以
21、综合解答(2017山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为：vablog3Q10(其中 a，b 是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s(1)求出 a，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解析(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog330100，即 ab0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，故 ablog390101，整理得 a2b1解方程组ab0，a2b1，得a1，b1.(2)由(1)知，vablog3Q101log3Q10所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v2，即1log3Q102，即 log3Q103，解得 Q270所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要270 个单位