1、数 学 大二轮复习第一部分全程方略课件专题14 直线与圆知识网络构建1 高考考点聚焦 2 核心知识整合 3 高考真题体验 4 命题热点突破 5 课后强化训练 高考考点聚焦 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)切实掌握直线的倾斜角、斜率的概念，两直线平行、垂直的位置关系(2)弄清直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的特点及相关量的几何意义(3)掌握求圆的方程的方法，并会判定直线与圆、圆与圆的位置关系，会利用位置关系解决综合问题 预测2020年命题热点为：(1)根据两直线的位置关系求参数的值(2)根据直线与圆的位置关系求动点的轨迹核心知识整合 1直线的有关问题(1)直线的斜率
2、公式 已知直线的倾斜角为(90)，则直线的斜率为k_ 已知直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2x1)，则直线的斜率为k_(x2x1)tan y1y2x1x2(2)三种距离公式两点间的距离：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|_点到直线的距离：点 P(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离d_两平行线的距离：若直线 l1，l2的方程分别为 l1：AxByC10，l2：AxByC20，则两平行线的距离 d_(3)直线与圆相交时弦长公式设圆的半径为 R，圆心到弦的距离为 d，则弦长 l_x2x12y2y12|Ax0By0C|A2B2|C2C1|A2B22 R2d2 (4)
3、直线方程的五种形式 点斜式：_ 斜截式：_ 两点式：_ 截距式：_(a0，b0)一般式：AxByC0(A，B不同时为0)yy0k(xx0)ykxb yy1y2y1xx1x2x1 xayb1 (5)直线的两种位置关系 当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：()两直线平行：l1l2_()两直线垂直：l1l2_ 当两直线方程分别为l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20时：()l1与l2平行或重合A1B2A2B10()l1l2A1A2B1B20k1k2 k1k21 2圆的有关问题(1)圆的三种方程 圆的标准方程：_ 圆的一般方程：_ 圆的直径式方程：_(圆的直径的两端点是A(x1，y1
4、)，B(x2，y2)(xa)2(yb)2r2 x2y2DxEyF0(D2E24F0)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0 (2)判断直线与圆的位置关系的方法 _(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0相交，0相离，0相切 _(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr相离，dr相切(主要掌握几何方法)代数方法 几何方法 (3)两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系 设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.圆心距与两圆半径的关系两圆的位置关系|O1O2|r1r2|内含|O1O2|r1r2|内切|r1r2|O1O2|r1r2|外离 1注意两平行线距离公式
5、的应用条件 应用两平行线间距离公式时，两平行线方程中x，y的系数应对应相等 2忽略直线斜率不存在的情况 在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在 3注意直线方程的限制条件(1)应用点斜式、斜截式方程时，注意它们不包含垂直于x轴的直线；(2)应用两点式方程时，注意它不包含与坐标轴垂直的直线；(3)应用截距式方程时，注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过原点的直线；(4)在处理直线与圆的位置关系时要充分利用圆的几何性质高考真题体验1(2016全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线axy10 的距离为 1，则 a()A43 B34 C.3 D2解析 由已知可得圆的标准方程为(x1)2(y4
6、)24，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得 d|a41|a21 1，解得 a43，故选 A.答案 A2(2015山东卷)一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A53或35B32或23C54或45D43或34解析 由题意知，反射光线所在直线过点(2，3)，设反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.圆(x3)2(y2)21 的圆心为(3,2)，半径为 1，且反射光线与该圆相切，|3k22k3|k211，化简得 12k225k120，解得 k43或 k34.答案 D3(2016山东卷)已知圆 M
7、：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切D相离解析 由题知圆 M：x2(ya)2a2(a0)，圆心(0，a)到直线 xy0 的距离 d a2，所以 2a2a22 2 2，解得 a2.圆M，圆 N 的圆心距|MN|2.两圆半径之差为 1，故两圆相交答案 B4(2017湖北孝感五校 4 月联考)已知直线 y2x 是ABC中C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点 C 的坐标为()A(2,4)B(2，4)C(2,4)D(2，4)解析 设 A(4,2)关于直线
8、y2x 的对称点为(x，y)，则y2x421，y22 24x2，解得x4，y2，BC 所在直线方程为 y12143(x3)，即 3xy100.同理可得点 B(3,1)关于直线 y2x 的对称点为(1,3)，AC 所在直线方程为 y23214(x4)，即 x3y100.联立得3xy100，x3y100，解得x2，y4，则 C(2,4)故选 C.答案 C5(2016天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆 C 的方程为_解析 因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且a0，所以圆心到直线 2xy0
9、 的距离 d2a54 55，解得 a2，所以圆 C 的半径 r|CM|453，所以圆 C 的方程为(x2)2y29.答案(x2)2y29命题热点突破(1)经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为()Ax2y60 B2xy60Cx2y70 Dx2y70命题方向1 直线方程与位置关系B 解析 设直线的方程为xayb1(a0，b0)，过点(1,4)，则有1a4b1，而截距之和为 ab(ab)(1a4b)5ba4ab 52ba4ab9，当且仅当ba4ab，即 b2a6 时，取等号，所以直线方程为x3y61，即 2xy60故选 B2(2017安徽安师大附中、马
10、鞍山二中高三测试)设 aR，则“a4”是“直线 l1：ax8y80 与直线 l2：2xaya0平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 当 a0 时，a28a8a直线 l1 与直线 l2 重合，无论 a 取何值，直线 l1 与直线 l2 均不可能平行，当 a4 时，l1与 l2 重合故选 D.答案 D 规律总结 1要注意几种直线方程的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线 2求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒
11、数”若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究1已知点 P(3,2)是点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为()Axy10 Bxy0Cxy10 Dxy0A 解析 由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直，所以 kl 1kPQ 142131.又直线l 经过 PQ 的中点(2,3)，所以直线 l 的方程为 y3x2，即 xy102过直线 l1：x2y30 与直线 l2：2x3y80 的交点，且到点 P(0,4)距离为 2 的直线方程为_.y2或4x3y20 解析 由x2y30，2x3y80 得x1，y2.l1与 l2交点为(1,2)，直线 x1 显然不适合设所求直线为 y2
12、k(x1)，即 kxy2k0，P(0,4)到直线距离为 2，2|2k|1k2k0 或 k43直线方程为 y2 或 4x3y20(2017全国卷，20)已知抛物线 C：y22x，过点(2,0)的直线 l交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程命题方向2 圆的方程解析(1)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由xmy2，y22x可得 y22my40，则 y1y24又 x1y212，x2y222，故 x1x2y1y2244因此 OA 的斜率与 OB 的
13、斜率之积为y1x1y2x244 1所以 OAOB，故坐标原点 O 在圆 M 上(2)由(1)可得 y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心 M 的坐标为(m22，m)，圆 M 的半径 r m222m2由于圆 M 过点 P(4，2)，因此APBP0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即 x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200由(1)可知 y1y24，x1x24，所以 2m2m10，解得 m1 或 m12当 m1 时，直线 l 的方程为 xy20，圆心 M 的坐标为(3,1)，圆 M 的半径为 10圆 M 的方程为(x3)2(y1)210当 m12时，直线 l
14、 的方程为 2xy40，圆心 M 的坐标为(94，12)，圆M 的半径为 854，圆 M 的方程为(x94)2(y12)28516 规律总结 求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径1过圆 x2y24 外一点 P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为 A、B，则ABP的外接圆的方程是()A(x4)2(y2)21 Bx2(y2)24C(x2)2(y1)25 D(x2)2(y1)25D 解析 PAOA，PBOB，以 OP 为直径的圆过 A、B
15、两点，故ABP的外接圆就是以 OP 为直径的圆，从而圆心为(2,1)，半径 r 5，圆的方程为(x2)2(y1)252(2017西安统考)若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为_解析 设点(1,0)关于 yx 的对称点为(x0，y0)，则 y0 x011，y02x012.解得x00，y01，所以圆 C 的圆心为(0,1)又因为圆 C 的半径为 1，所以圆 C 的方程为 x2(y1)21.答案 x2(y1)213已知圆 C 过定点 A(0，a)(a0)，且被 x 轴截得的弦 MN 的长为 2a，若MAN45，则圆 C 的方程为_解析 设圆 C 的
16、圆心坐标为(x，y)，依题意，圆 C 的半径 r x2ya2，又圆 C 被 x 轴截得的弦 MN 的长为 2a，所以|y|2a2r2，即 y2a2x2(ya)2，化简得 x22ay.因为MAN45，所以MCN90，从而 ya，x 2a，圆的半径 rx2ya2 2a，所以圆 C 的方程为(x 2a)2(ya)22a2或(x 2a)2(ya)22a2.答案(x 2a)2(ya)22a2 或(x 2a)2(ya)22a2(1)已知直线 l：xay10(aR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|()A2 B4 2 C6 D2 10命题方
17、向3 直线(圆)与圆的位置关系C 解析 易知圆的标准方程 C：(x2)2(y1)24，圆心 O 为(2,1)又因为直线 l：xay10 是圆的对称轴，则直线 l 一定经过圆心，得知 a1，则A(4，1)又因为直线 AB 与圆相切，则OAB 为直角三角形，|OA|2421122 10，|OB|2，|AB|OA2OB26.故选 C(2)已知圆 C 的圆心与抛物线 y24x 的焦点 F 关于直线 yx 对称，直线 4x3y20 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|6，则圆 C 的方程为_.x2(y1)210 分析 由圆心C与F关于直线yx对称可求得C点坐标，再由弦长|AB|6可求得圆的半径，进
18、而可得圆的方程解析 抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)关于直线 yx 的对称点 C(0,1)是圆心，C 到直线 4x3y20 的距离 d|40312|51，又圆截直线 4x3y20 的弦长为 6，圆的半径 r 1232 10圆方程为 x2(y1)210 规律总结 1与圆有关的切线问题求解策略(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理 2判断直线与圆、圆与圆位置关系的方法 讨论直线与圆及圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解
19、题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较3弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l2 r2d2(其中 l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)(2)根据公式：l 1k2|x1x2|求解(其中 l 为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解1在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2xy40 相切，则圆 C 面
20、积的最小值为()A45 B34C(62 5)D54A 解析 由题意易知 AB 为直径的圆 C 过原点 O，圆心 C 为 AB 的中点，设 D 为切点，要使圆 C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需 OCCD 最小，其最小值为 OE(过原点 O 作直线 2xy40 的垂线，垂足为 E)的长度由点到直线的距离公式得 OE 45.圆 C 面积的最小值为(25)245.故选 A2(2017洛阳统考)直线 l：ykx1 与圆 O：x2y21 相交于 A，B 两点，则“k1”是“|AB|2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 依题意，注意到|AB|2|OA|2|O
21、B|2 等价于圆心O 到直线 l 的距离等于 22，即有1k21 22，k1.因此，“k1”是“|AB|2”的充分不必要条件，选 A.答案 A3(2017重庆永川中学月考)设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN30，则 x0 的取值范围是()A 3，3 B.12，12C2,2D.33，33解析 易知 M(x0,1)在直线 y1 上，设圆 x2y21 与直线y1 的交点为 T，显然假设存在点 N，使得OMN30，则必有OMNOMT，所以要使圆上存在点 N，使得OMN30，只需OMT30，因为 T(0,1)，所以只需在 RtOMT 中，tanOMTOTTM 1|x0|tan30 13，解得 3x0 3，且 x00，当 x00 时，显然满足题意，故 x0 3，3故答案选 A.答案 A4(2017新疆维吾尔自治区第二次适应性检测)设 m，nR，若直线(m1)x(n1)y20 与圆 x2y21 相切，则 mn 的最大值是_解析 依题意得，圆心(0,0)到直线(m1)x(n1)y20的距离等于圆的半径 1，于是有2m12n121，即(m1)2(n1)24，设 m12cos，n12sin，则 mn(m1)(n1)2cos2sin2 2cos4 2 2，当且仅当 cos41 时取等号，因此 mn 的最大值是 2 2.答案 2 2