1、第九章 平面解析几何 第45节 圆的方程考纲呈现 1掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程 2掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程.诊断型微题组 课前预习诊断双基1圆的定义和圆的方程 2点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2 之间存在着下列关系：(1)dr，即(x0a)2(y0b)2r2M 在；(2)dr，即(x0a)2(y0b)2r2M 在；(3)dr，即(x0a)2(y0b)2r2M 在.圆外圆上圆内 1求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程
2、 2求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线 1圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0 Cx2y210 x0 Dx2y210 x0【答案】B【解析】设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r|b|，圆的方程为 x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得 b5.圆的方程为 x2y210y0.2(2018 湖南长沙模拟)已知两点 P(4,0)，Q(0,2)，则以线段 PQ为直径的圆的方程是()A(x2)2(y1)25B(x2)2(y1)210 C(x2)
3、2(y1)25D(x2)2(y1)210【答案】C【解析】圆的直径为线段 PQ，圆心坐标为(2,1)，半径 r|PQ|2 420224 5，圆的方程为(x2)2(y1)25.故选 C.3(必修 2P124A 组 T1 改编)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2，3)D(2，3)【答案】D【解析】圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)故选 D.4(必修 2P120 例 3 改编)过点 A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24D(x1)
4、2(y1)24【答案】C【解析】设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r，因为圆心 C 在直线xy20 上，所以 b2a.因为|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2.所以 a1，b1.所以 r2.所以方程为(x1)2(y1)24.故选 C.5(必修 2P122 例 4 改编)ABC 的三个顶点分别为 A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，则其外接圆的方程为_【答案】x2y24x2y200【解析】设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，则由题意有D5EF260，2D2EF80，5D5EF500，解得D4，E2，F20.故所求圆的方程为 x2y24x2y200
5、.形成型微题组 归纳演绎形成方法 圆的方程 1(2018 黑龙江双鸭山模拟)若圆心在 x 轴上，半径为 5的圆 C位于 y 轴左侧，且与直线 x2y0 相切，则圆 C 的方程是()A(x 5)2y25B(x 5)2y25 C(x5)2y25D(x5)2y25【答案】D【解析】设圆心为(a,0)(a0)，则 r|a20|1222 5，解得 a5.所以圆 C 的方程为(x5)2y25.2(2019 青海西宁质检)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 xy10 相切于点 B(2,1)，则圆 C 的方程为_【答案】(x3)2y22【解析】由已知 kAB0，所以 AB 的中垂线方程为 x3.过点 B 且垂
6、直于直线 xy10 的直线方程为 y1(x2)，即 xy30，联立，解得x3，y0，所以圆心坐标为(3,0)，半径 r 432102 2，所以圆 C 的方程为(x3)2y22.微技探究 求圆的方程的 2 种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值 1.(2018烟台模拟)若圆C经过(1,0)
7、，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A(x2)2(y2)23B(x2)2(y 3)23 C(x2)2(y2)24D(x2)2(y 3)24【答案】D【解析】因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆C与y轴相切，所以圆的半径r2.设圆心坐标为(2，b)，则(12)2b24，b23，b 3.故选D.2.(2018湖北襄阳模拟)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)的圆的方程为_【答案】(x1)2(y4)28【解析】由题意设圆的方程为(xa)2(y4a)2r2(r0)，由圆与直线l：xy10相切于点P(3，2)得|a4a1|2r，4a2a
8、3 1，解得a1，r2 2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.与圆有关的最值问题 1(2018湖南长沙模拟)已知两点A(1,0)，B(0,2)，点P是圆(x1)2y21上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是()A2，12(4 5)B12(4 5)，12(4 5)C.5，4 5D12(52)，12(52)【答案】B【解析】直线AB的方程为 x1y21，即2xy20.圆心(1,0)到直线AB的距离d 225 4 55，则点P到直线AB的距离最大值为4 55 1，最小值为4 55 1.又|AB|5，所以PAB面积的最大值Smax12 54 55 1 12(45)，PAB面积的最小值Sm
9、in 12 5 4 55 1 12(45)故选B.2(2018江西九江模拟)已知点P是直线3x4y80上的动点，点C是圆x2y22x2y10的圆心，那么|PC|的最小值是_【答案】3【解析】点C到直线3x4y80上的动点P的最小距离即为点C到直线3x4y80的距离，又圆心C的坐标是(1,1)，因此最小距离为|31418|53.微技探究 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法 形如uybxa型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的
10、直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题 (2018长春一中月考)已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值【解】原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，3 为半径的圆(1)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得b26(如图1)，所以yx的最大值为26，最小值为26.图 1 图 2(2)x2y2 表示圆上的一点与原点
11、距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图2)又圆心到原点的距离为 2，所以 x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的最小值是(2 3)274 3.与圆有关的轨迹问题(2018哈尔滨九中月考)设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP(O是坐标原点)，求点P的轨迹【解】设P(x，y)，N(x0，y0)，则 OP(x，y)，ON(x0，y0)，OM(3,4)，由OP OM ON 得(x，y)(3,4)(x0，y0)，所以xx03，yy04，所以x0 x3，y0y4.又x20y204，所以(x3)
12、2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心，2为半径的圆 因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点95，125和215，285.微技探究 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 (2018山东德州模拟)已知A(2,0)为圆x2y24上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程(P与A不重合)；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程【解】(1)设A
13、P的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x2,2y)因为点P在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21(x2)(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.答题模板 利用几何性质巧设圆心求方程【典例】在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程【规范解答】【解】方法一：(代数法)曲线yx26x1与y轴
14、的交点坐标为(0,1)，与x轴的交点坐标为(322，0)，(322，0)，设圆的方程是x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则有1EF0，32 22D32 2F0，32 22D32 2F0，解得D6，E2，F1，故圆的方程是x2y26x2y10.方法二：(几何法)曲线yx26x1与y轴的交点坐标为(0,1)，与x轴的交点坐标为(32 2，0)，(32 2，0)故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(22)2t2，解得t1.则圆C的半径为 32t123，所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.微技探究 1方法一可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标
15、求解析式 2方法二利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题 已知圆C的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称，直线4x3y20与圆C相交于A，B两点，且|AB|6，则圆C的方程为_【答案】x2(y1)210【解析】设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d|40312|42321，则r2d2|AB|2210，因此圆C的方程是x2(y1)210.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018全国，6)直线x
16、y20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8 C 2，3 2D2 2，3 2【答案】A【解析】设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20的距离为d，则圆心C(2,0)，r 2，所以圆心C到直线xy20的距离为2 2，可得dmax2 2r3 2，dmin2 2r 2.由已知条件可得AB2 2，所以ABP面积的最大值为12ABdmax6，ABP面积的最小值为 12 ABdmin2.综上，ABP面积的取值范围是2,6故选A.2(2015全国，7)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则
17、|MN|()A2 6B8 C4 6D10【答案】C【解析】设过A，B，C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0，则D3EF100，4D2EF200，D7EF500，解得D2，E4，F20，则所求圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y24y200，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1y24，y1y220，所以|MN|y1y2|y1y224y1y24 6.故选C.3(2018江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若ABCD 0，则点A的横坐标为_【答案】3【解析】设A(a,2a)，则a0.又B(5
18、,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x5)(xa)y(y2a)0.由题意知Ca52，a.由x5xayy2a0，y2x，解得x1，y2，或xa，y2a.D(1,2)又ABCD 0，AB(5a，2a)，CD 1a52，2a，(5a，2a)1a52，2a 52a25a152 0，解得a3或a1.又a0，a3.4(2016全国，15)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点若|AB|2 3，求圆C的面积为_【答案】4【解析】圆C的方程可化为x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径ra22，所以圆心到直线xy2a0的距离为|a2a|2|a|2.所以|a|22(3)2(a2
19、2)2，解得a22.所以圆C的半径为2.所以圆C的面积为4.5(2016天津，12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为4 55，则圆C的方程为_【答案】(x2)2y29【解析】因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d 2a5 4 55，解得a2，所以圆C的半径r|CM|453，所以圆C的方程为(x2)2y29.6(2015全国，14)一个圆经过椭圆 x216y24 1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_【答案】x322y2254 【解析】由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)，B(0,2)，C(0，2)易知线段AB的垂直平分线的方程为2xy30.令y0，得x32，所以圆心坐标为32，0，则半径r43252.故该圆的标准方程为x322y2254.