1、第7章 第7讲一、选择题1已知点A(1,2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析(5,1,7).(2,3,1)0ACBC.即ACB90,而|.ABC为直角三角形答案C2已知向量a(8,x,x),b(x,1,2),其中x0,若ab,则x的值为()A8 B4C2 D0解析因x8,2,0时都不满足ab,而x4时,a(8,2,4)2(4,1,2)2b,ab.故选B.另解:ab存在0使ab(8,x)(x,2),故选B.答案B3已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是()
2、A(,) B(,)C(,) D(,)解析(1,1,0),(1,0,1)设平面ABC的一个法向量n(x,y,z)令x1,则y1,z1,n(1,1,1)单位法向量为:(,)答案D4已知(1,5,2),(3,1,z),若,(x1,y,3),且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.,4 B.,4C.,2,4 D4,15解析,0,即352z0,得z4,又BP平面ABC,BPAB,BPBC,(3,1,4),则解得答案B5设点C(2a1,a1,2)在点P(2,0,0)、A(1,3,2)、B(8,1,4)确定的平面上,则a等于()A16 B4C2 D8解析(1,3,2),(6,1,4)根据共面向量定理
3、,设xy (x、yR),则(2a1,a1,2)x(1,3,2)y(6,1,4)(x6y,3xy,2x4y),解得x7,y4,a16.答案A6如图,在四边形ABCD中,|4,|4,|0,则(|)|的值为()A2 B2C4 D4解析根据0可知,ABDBDC90,则ABDC.又由|4和|4,可解得BD2,ABDC2.如图,延长AB,过C作COAB交AB延长线于点O.则有AOBDOC2,AOC为等腰直角三角形于是CAO45,AC2.所以()22cos454.答案C二、填空题7已知空间三点A、B、C坐标分别为(0,0,2),(2,2,0),(2,4,2),点P在xOy平面上且PAAB,PAAC,则P点坐
4、标为_解析设p(x,y,z)则(x,y,2z),(2,2,2),(2,4,4)由已知得:解得:p(8,6,0)答案(8,6,0)8空间四边形OABC中,OBOC,AOBAOC,则cos,的值是_解析由条件得,cos,0.答案09如图所示,已知矩形ABCD,AB1,BCa,PA平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQQD,则a的值等于_解析以A为原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴,z轴建立空间直角坐标系,设PAm,BQx,则P(0,0,m),Q(1,x,0),D(0,a,0),于是(1,x,m),(1,ax,0)PQQD,0即1axx20x2ax10只有一个点Q满足PQQD方程x
5、2ax10只有一个实根,即a240,a2(a0)答案210如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E、F分别是棱BC、DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和的值等于_解析以D1A1、D1C1、D1D分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设CEx,DFy,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0)(x1,0,1),又F(0,0,1y),B(1,1,1)(1,1,y),由于ABB1E,故若B1E平面ABF,只需(1,1,y)(x1,0,1)0xy1.答案1三、解答题11(2007山东)如图所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知DCDD12AD2AB,ADDC,ABD
6、C.(1)设E是DC的中点,求证:D1E平面A1BD;(2)求二面角A1BDC1的余弦值方法一:(1)证明如图连接BE,则四边形DABE为正方形,BEADA1D1,且BEADA1D1,四边形A1D1EB为平行四边形D1EA1B.又D1E平面A1BD,A1B平面A1BD,D1E平面A1BD.(2)解以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设DA1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,2,2),A1(1,0,2),(1,0,2),(1,1,0)设n(x,y,z)为平面A1BD的一个法向量,由n,n,得取z1,则n(
7、2,2,1)又(0,2,2),(1,1,0)设m(x1,y1,z1)为平面C1BD的一个法向量,由m,m,得取z11,则m(1,1,1)设m与n的夹角为,二面角A1BDC1为,coscos()cos ,即所求二面角A1BDC1的余弦值为.方法二:(1)证明以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设DAa,由题意知D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,2a),A1(a,0,2a),D1(0,0,2a),E(0,a,0)(0,a,2a),(0,a,2a),又,D1EA1B.A1B平面A1BD,D1
8、E平面A1BD,D1E平面A1BD.(2)解取DB的中点F,DC1的中点M,连接A1F、FM,由(1)及题意得知:F,M(0,a,a),(a,a,0)(,2a)(a,a,0)0(a,a,0)0.FA1DB,FMDB.A1FM为所求二面角的平面角cosA1FM.二面角A1BDC1的余弦值为.12(2009湖南,18)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,ABAA1,点D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DEAE.(1)证明:平面ADE平面ACC1A1;(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值(1)证明如图所示,由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面A1B1C1.又DE平面A1B1
9、C1,所以DEAA1.而DEAE,AA1AEA.所以DE平面ACC1A1,又DE平面ADE,故平面ADE平面ACC1A1,(2)解解法一:如图所示,设F是AB的中点,连接DF,DC1,C1F,由正三棱柱ABCA1B1C1的性质及D是A1B1的中点知,A1B1C1D,A1B1DF,又C1DDFD,所以A1B1平面C1DF,而ABA1B1,所以AB平面C1DF,又AB平面ABC1,故平面ABC1平面C1DF.过点D作DH垂直C1F于H点,则DH平面ABC1,连接AH,则HAD是直线AD和平面ABC1所成的角由已知ABAA1,不妨设AA1,则AB2,DF,DC1,C1F,AD,DH.所以sinHAD.即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.解法二:如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,不妨设AA1,则AB2,相关各点的坐标分别是A(0,1,0),B(,0,0),C1(0,1,),D(,)易知(,1,0),(0,2,),(,)设平面ABC1的一个法向量为n(x,y,z),则有解得xy,zy.故可取n(1,)所以cosn.由此即知直线AD和平面ABC1所在的角的正弦值为.亲爱的同学请写上你的学习心得 .精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5¥u高考资源网w。w-w*k&s%5¥u