1、北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年高一数学上学期期中练习试题（含解析）卷（共18题，满分100分）一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）1. 设全集，集合，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据为全集，集合，利用补集运算得到，再由利用交集的运算求解.【详解】因为全集，集合，所以，又，所以故选：B2. 下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递增的函数为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性的定义分别检验各选项即可判断【详解】，在区间上单调递减，AC不符合题意；为偶函数，D不符合题意；，为奇函数，当
2、时，在上单调递增，B符合题意故选：B3. 已知命题，则是（ ）.A. ，B. ，C ，D. ，【答案】A【解析】分析】利用全称命题与特称命题的否定关系，直接写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，则命题的否定形式是，故选：4. 不等式的解集为（ ）.A. 或B. 或C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】先分解因式再解不等式.【详解】因，所以，或，故选：C5. 函数的零点所在的区间是A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】A【解析】【分析】求得 f（1）f（2）0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间【详解】由函数可得，故有
3、，根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在区间为，故选A【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查6. 若，则下列不等关系一定成立的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，可判断；由，可判断；由，可判断；由不等式的性质可判断【详解】由，可得，故错误；由，可得，故错误；由，可得，故错误；由，可得，故正确故选：7. 函数的图象大致是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再将绝对值符号去掉，将函数写成分段函数形式，即可判断函数图象；【详解】解：因为，所以定义域为，所以，函数图象如图A所示；故选：A8. “”是
4、“”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】由，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B9. 关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知可得判别式、对应的二次函数满足，即可求出的范围【详解】解：方程有两个实数根，的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴所以，可得，或，故选：【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系
5、数的关系求解是解题的关键10. 若关于的不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】将不等式对于一切恒成立，转化为不等式对于一切恒成立，令，分和讨论求解.【详解】因为不等式对于一切恒成立，即不等式对于一切恒成立，令，当，即时，此时，当，即时，解得，综上：所以实数的取值范围是故选：C二、填空题（本大题共5小题，每小题5分共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置）11. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为，所以，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【点睛】本题
6、主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12. 若函数是偶函数，则_.【答案】5【解析】【分析】先利用函数偶函数的定义求得解析式，再求的值.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，解得，所以5故答案为：513. 奇函数的定义域为，在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的定义域为，在第一象限的图象，作出整个定义域上的图象，然后利用数形结合法求解.【详解】因为奇函数的定义域为，且在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，所以定义域内的函数图象，如图所示，当时，解得，由图象知：不等式的解
7、集为故答案为：14. 已知函数，如果对，使得成立，请给出一个满足上述条件的函数，则的解析式为_.【答案】【解析】【分析】写出一个满足定义域为，值域为，的函数即可【详解】，对，使得成立，的定义域、值域为，不妨取故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将原问题转化为所求函数与已知函数的定义域、值域相同15. 设函数若，使得成立，则实数的取值范围是_.若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 或【解析】【分析】由知，函数关于直线对称，结合图像可知的取值范围；在上单增，在R上单增，结合图像知，或者【详解】由知，函数关于直线对称，又二次函数，开口向下，对称轴为，结合图
8、像：由，使得，知在上单增，在R上单增，结合图像知，或【点睛】结论点睛：函数对称性常用结论：（1）函数满足，则函数图像关于直线对称；（2）函数满足，则函数图像关于点中心对称；三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）16. 已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合，由此能求出（2）由可得，得或，由此能求出实数的取值范围【详解】（1）由题可得：当时，或则（2）因为，则，因为集合不可能是空集，所以：或即：或所以的取值范围为【点睛】本题主要考查了
9、不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.17. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工
10、厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？【答案】（1），；（2），【解析】【分析】(1)根据题中数据求出，得到，再将代入即可得出结果；(2)根据基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件，即可得出结果.【详解】(1)因为年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费.由题意可得：，所以存储成本费，若该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储成本费为；(2)因为存储成
11、本费，所以，当且仅当，即时，取等号；所以每次需订购吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型.18. 已知函数（）判断函数在上的单调性，并用函数单调性定义证明；（）关于的方程有6个不同的实数根.则：（1）_.（2）求，满足的条件.（直接写出答案）【答案】（）减函数，证明见解析；（）（1），（2），.【解析】【分析】（）利用单调性定义直接证明即可；（）利用换元法和二次函数的图像性质，分类讨论即可求解【详解】（）证明：任取，且，则因为，所以，.所以.即.所以是上的减函数.（）（1）令，则有6个不同实根，由于，为奇函数
12、，则时有四个不同的解，要使有6个不同的解，则必为一解，此时，又由，可得，则方程变为，故有另一解为，又由，得或，化简得，或，解得和，综上，（2）由（1）可得，满足的条件为，【点睛】关键点睛：解题关键在于，利用换元法，令，则有6个不同实根，然后，利用二次函数的图像性质分为时有两个解，有四个解这两种情况进行讨论，难度属于中档题卷（共7道题，满分50分）一、选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）19. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出不等式，进而可
13、判断出其一个充分不必要条件【详解】解：不等式，解得，故不等式的解集为：，则其一个充分不必要条件可以是，故选：【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含20. 若指数函数的图象和函数图象相交，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论，当a1时符合题意，当时，根据临界点的高低列不等式求解即可.【详解】时，的增长速度比的增长
14、速度快，所以必会有交点，时，要使函数的图象和函数图象有交点，则时， ，综上，故选：D.【点睛】方法点睛：数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质21. 已知函数对于给定的（且）存在，使得，则的最大值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分类讨论，当时，函数满足题中定义，利用反证法，证明存在时，题中定义不
15、成立，进而得出结论【详解】首先当时，取，则，假设存在，则，当时，当时，所以，不存在，使得，所以，的最大值为故选：C【点睛】关键点睛：解题关键在于理解新定义，以为分界，做分类讨论，难度属于中档题二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分，请把结果填在答题纸上的相应位置）22. 设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据、是关于的方程的两个实数根，由，解得 ，然后由 ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为、是关于的方程的两个实数根，所以，解得 ，所以，则 ， ， ，所以的最小值为，故答案为：23. 自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这
16、些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数）（1）如果为单调函数.写出满足条件的一-组值：_，_.（2）如果的最小值为2，则的最小值为_.【答案】 (1). 1 (2). (3). 2【解析】【分析】（1）取，结合函数是单调函数，利用复合函数的单调性求解的值即可；（2）根据的最小值为2，分类讨论确定，结合基本不等式进行求解即可【详解】（1）令，则，是增函数，是减函数，要使是单调函数，只需综上，当时，时，为增函数（2）当时，为单调函数，此时函数没有最
17、小值，当，有最大值，无最小值，所以，若有最小值为2，则必有，此时，即，即， 则，当时等号成立，即的最小值为2故答案为：【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.24. 设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：存在的两个不同子集，使得任意都满足且；任取的两个不同子集，对任意都有；设，对任意，都有其中正确结论的序号为_.【答案】【解析】分析】根据
18、题目中给的新定义，对于或，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题【详解】对于，定义， 对于，例如集合是正奇数集合，是正偶数集合，正确； 对于， 例如：，当时，； 错误；对于， ，明显地，均为偶数集，若为偶数，则，则且； ，则有；若为奇数，此时，则且，也成立；正确所有正确结论的序号是：； 故答案为：【点睛】关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.三、解答题（本小题14分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）25. 已知集合为非空数集，定义：，（1）若集合，直接写出集合，
19、.（2）若集合，且，求证：（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）1347.【解析】【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合及；（2）根据两集合相等即可找到，的关系；（3）通过假设集合，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值【详解】（1）根据题意，由，则，；（2）由于集合，且，所以中也只包含四个元素，即，剩下的，所以；（3）设满足题意，其中，则，中最小的元素为0，最大的元素为，实际上当时满足题意，证明如下：设，则，依题意有，即，故的最小值为674，于是当时，中元素最多，即时满足题意，综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.