1、第五章 曲线运动 习题课3 竖直面内的圆周运动问题 学习目标 1.科学思维了解竖直面上圆周运动的两种基本模型 2.科学思维掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析 3.科学思维学会分析圆周运动问题的一般方法 合 作 探 究 攻 重 难 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型轻绳模型(如图所示)的最高点问题1绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)2在最高点的动力学方程 FTmgmv2r.3在最高点的临界条件 FT0，此时 mgmv2r，则 v gr.v gr时，拉力或压力为零 v gr时，小球受向下的拉力或压力 v gr时，小球不能达到最高点 即轻绳模型的临界速度为 v 临 gr.
2、【例 1】一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量 m0.5 kg，水的重心到转轴的距离 l50 cm.(g 取 10 m/s2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率 v3 m/s，求水对桶底的压力大小 思路点拨：在最高点水不流出的临界条件为只有水的重力提供向心力，水与水桶间无弹力的作用 解析(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小 此时有：mgmv20l，则所求的最小速率为：v0 gl2.24 m/s.(2)此时桶
3、底对水有一向下的压力，设为 FN，则由牛顿第二定律有：FNmgmv2l，代入数据可得：FN4 N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN4 N.答案(1)2.24 m/s(2)4 N 跟进训练 1如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧若竖直圆轨道的半径为 R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为()A gR B2 gR C.gR DRg C 小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即 mgm2R，解得 gR，选项 C 正确 竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型1最高点的最小速度 如图所示，细杆上固定的
4、小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度 v0，此时小球受到的支持力 FNmg.2小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况(1)v Rg，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F 随 v增大而增大(2)v Rg，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F0.(3)0v Rg，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F 随 v 的增大而减小【例 2】长度为 0.5 m 的轻杆 OA 绕 O 点在竖直平面内做圆周运动，A 端连着一个质量 m2 kg 的小球求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g 取 10 m/s2)(1
5、)杆做匀速圆周运动的转速为 2.0 r/s；(2)杆做匀速圆周运动的转速为 0.5 r/s.解析 小球在最高点的受力如图所示：(1)杆的转速为 2.0 r/s 时，2n4 rad/s 由牛顿第二定律得 FmgmL2 故小球所受杆的作用力 FmL2mg2(0.542210)N138 N 即杆对小球提供了 138 N 的拉力 由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为 138 N，方向竖直向上(2)杆的转速为 0.5 r/s 时，2n rad/s 同理可得小球所受杆的作用力 FmL2mg2(0.5210)N10 N.力 F 为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为 10 N
6、，方向竖直向下 答案(1)小球对杆的拉力为 138 N，方向竖直向上(2)小球对杆的压力为 10 N，方向竖直向下(1)注意 r/s 与 rad/s 的不同(2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力.(3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法 跟进训练 2(多选)如图所示，有一个半径为 R 的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度 v，下列叙述中正确的是()Av 的极小值为 gR Bv 由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大 C当 v 由 gR值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大 D当 v 由 gR值逐渐减小时，轨道
7、对小球的弹力逐渐增大 CD 由于轨道可以对球提供支持力，小球过最高点的速度最小值为 0，A 错误；当 0v gR时，小球受到的弹力为支持力，由牛顿第二定律得：mgFNmv2R，故 FNmgmv2R，v 越大，FN 越小；当 v gR时，小球受到的弹力为外轨对它向下的压力，即 FNmgmv2r，v 越大，FN 越大，故 B 错误，C、D 正确课 堂 小 结 提 素 养 1如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为 R，人体受重力为 mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为()A0 B gR C 2gR
8、D 3gR C 由题意知 Fmgmv2R即 2mgmv2R，故速度大小 v 2gR，C 正确 2(多选)如图所示，用细绳拴着质量为 m 的小球，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为 R，则下列说法正确的是()A小球过最高点时，绳子张力可能为零 B小球过最高点时的最小速度为零 C小球刚好过最高点时的速度为 gR D小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反 AC 绳子只能提供拉力作用，其方向不可能与重力相反，D 错误；在最高点有 mgFTmv2R，拉力 FT可以等于零，此时速度最小为 vmin gR，故 B 错误，A、C 正确 3(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管
9、道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是()A小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下 B小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上 C小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上 D小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力 ACD 设管道的半径为 R，小球的质量为 m，小球通过最低点时速度大小为 v1，根据牛顿第二定律：Nmgmv21R可知小球所受合力向上，则管道对小球的支持力向上，则小球对管道的压力向下，故 A 正确，B 错误；最高点时速度大小为 v2，根据牛顿第二定律：mgNmv22R，当 v2 gR时，N0，说明管道对小球无压力；当v2
10、 gR时，N0，说明管道对小球的作用力向下，则小球对管道的压力向上，故 C、D 正确所以 A、C、D 正确，B 错误 4如图所示，长为 L0.5 m 的轻杆 OA 绕 O 点在竖直平面内做匀速圆周运动，A 端连着一个质量 m2 kg 的小球，g 取 10 m/s2.(1)如果小球的速度为 3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大；(2)如果在最高点杆对小球的支持力为 4 N，求杆旋转的角速度为多大 解析(1)小球在最低点受力如图甲所示：甲 乙 合力等于向心力：FAmgmv2L 解得：FA56 N.(2)小球在最高点如图乙所示：则：mgFBm2L 解得：4 rad/s.答案(1)56 N(2)4 rad/s 点击右图进入 重 难 强 化 训 练 Thank you for watching!