1、北京市大兴区2020-2021学年高二数学上学期期末检测试题本试卷共页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在平面直角坐标系中，斜率为的直线倾斜角为（A） （B） （C） （D）（2）已知数列满足，则的值为（A） （B）（C） （D）（3）经过点且与直线垂直的直线方程为（A） （B） （C） （D）（4）某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是，则他至少投中一次的概率
2、为（A） （B） （C） （D）（5）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（A） （B） （C） （D）（6）已知圆经过原点，且其圆心在直线上，则圆半径的最小值为（A） （B） （C） （D）（7）我国古代数学名著九章算术中有如下 “两鼠穿墙”问题:有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺,则两鼠穿透此墙至少在第 （A）天 （B）天 （C）天 （D）天（8）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，直线交轴于点若为线段的中点，则（A） （B） （C） （D）（9）已知椭圆的左、右顶点
3、分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为（A） （B） （C） （D）（10）已知数列的前项和，若恒成立，则实数的最大值是（A） （B） （C） （D）第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）双曲线的渐近线方程为 （12）已知入射光线经过点被轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为_（13）已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为 （只需写出一组）（14）如图，在四面体中，其棱长均为，分别为，的中点若，则_；直线和的夹角为_（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续次正面的概率. 给出下列四个结论：
4、； ； 当时，； 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）从名男生（记为和）和名女生（记为，和）组成的总体中，任意依次抽取名学生（）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间；（）在（）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的人为名男生和名女生的概率（17）（本小题14分）已知前项和为的数列中，.（）若是等比数列，求的通项公式； （）若是等差数列，求的最大值（18）（本小题14分）如图，在长方体中， 为的中点（）证明：； （）求点到平面的距离；（）求平面与平面夹角的余弦值（19）（本小题14分）已知直线与
5、直线，.（）若，求的值；（）求证：直线与圆恒有公共点；（）若直线与圆心为的圆相交于，两点，且为直角三角形，求的值（20）（本小题14分）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点. （）求直线与平面所成角的正弦值；（）设是的中点，判断点是否在平面内，并证明结论（21）（本小题15分）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，焦距是. （）求椭圆的方程；（）若直线与椭圆交于两个不同点，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；（）设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上除，外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段的长为定值大兴区20202021学年度
6、第一学期期末检测高二数学参考答案及评分标准一、 选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案BACDABBBDC二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）（13）（答案不唯一） （14）； （15） 注：（14）题第一问3分，第二问2分.（15）题答案不全3分，有错0分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（）设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点 .根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间 4分不放回简单随机抽样的样本空间 7分（）设事件“抽到名男生和名女生”，则对于有放回简单随机抽样，
7、2分因为抽中样本空间中每一个样本的可能性都相等，所以这是一个古典概型，因此； 4分对于不放回简单随机抽样，因为抽中样本空间中每一个样本的可能性都相等，所以这是一个古典概型，因此. 7分（17）（共14分）解：（）设等比数列公比为，因为， 所以 2分 所以，解得或 5分所以，当时， 当时， 7分（）设等差数列公差为， 因为， 1分 所以，解得 2分所以，是递减数列. 3分又由， 4分可知：当时，；当时，；当时， 5分 所以. 6分 所以，当或时，有最大值为. 7分（18）（共14分）解：在长方体中，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，. 1分（）因为， 2分又由
8、， 3分所以 ，即 4分 （）因为， 1分 设为平面的法向量，则，. 所以 2分 令，则， 所以为平面的一个法向量. 3分 又因为， ， 所以点到平面的距离为. 5分（）因为长方体中，易证，又由（）得，所以平面.所以是平面的一个法向量. 2分设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5分（19）（共14分）解：（）由直线方程得斜率. 1分因为，所以斜率. 2分所以，解得 . 4分 （）因为圆的圆心为，半径为，1分所以圆心到直线的距离. 2分又因为，所以，即. 4分所以直线与圆相交或相切，即恒有公共点. 5分 （）由圆：得，圆心，半径为.1分因为与圆相交于，两点，且是直角三角形
9、，所以. 3分所以圆心到直线的距离， 4分解得. 5分（20）（共14分）解：取中点，连接. 由已知易证，. 由，得，所以. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，. 1分（）因为， 2分 设为平面的法向量，则，. 所以 4分 令，则， 所以为平面的一个法向量. 5分 设直线与平面所成角为.又因为， 6分所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8分（）点在平面内. 1分因为为中点，所以，. 3分 又因为， 所以点在平面内. 6分（21）（共15分）解：（）已知，则.椭圆的方程为 4分 （）设，由，得， 2分 当时，则， 3分 又坐标原点在以线段为直径的圆上，则，即， 4分即， 则，即或，满足， 所以或. 6分（）线段的长是. 1分设，由（）得点，又点是线段的中点，则点， 直线的斜率为，直线的斜率为 ， 又，则直线的方程为，2分又直线的方程为， 3分联立方程，消去化简整理，得，又，代入消去，得，即，即点的横坐标为， 4分则. 故线段的长为定值. 5分