1、第三章3.2第1课时一、选择题1若平面、的法向量分别为a、b(1，2，6)，则()AB与相交但不垂直CD或与重合答案D解析b2a，ba，或与重合2直线l1、l2的方向向量分别为a(1,2，2)、b(2，3,2)，则()Al1l2Bl1与l2相交，但不垂直Cl1l2D不能确定答案C解析ab0，ab，l1l2.3若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()AlBlClDl与斜交答案B解析u2a，ua，l.4已知线段MN的两端点坐标为M(3，2,2)、N(1,2,2)，则线段MN与坐标平面()AxOy平行BxOz平行CyOz平行DyOz相交答案A解析(3，2,2)(1
2、,2,2)(2,4,0)，平面xOy.5在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体，给出下列结论：直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)其中正确的个数为()A1个B2个C3个D4个答案C解析DD1AA1，(0,0,1)；BC1AD1，(0,1,1)，直线AD平面ABB1A1，(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，错6在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AB、CC1、A1D1、C1D1的中点，下列结论中，错
3、误的是()AA1EAC1BBF平面ADD1A1CBFDGDA1ECH答案A解析设正方体棱长为1，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)、E(1，0)、C(0,1,0)、F(0,1，)、C1(0,1,1)、H(0，1)、G(，0,1)、A(1,0,0)、B(1,1,0)，(0，1)、(1,1,1)、(1,0，)、(，0,1)、(0，1)平面ADD1A1的一个法向量为v(0,1,0)，v0，0，.B、C、D成立，A不成立，故选A.二、填空题7平面的法向量u(x,1，2)，平面的法向量v，已知，则xy_.答案解析，uv，xy.8直线l1与l2不重
4、合，直线l1的方向向量v1(1,1,2)，直线l2的方向向量为v2(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是_答案垂直解析v1v22020，v1v2.l1l2，三、解答题9如图所示，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PDA，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由解析以点A为原点建立空间直角坐标系Axyz，设|AD|2a，|AB|2b，PDA，则A(0,0,0)、B(0,2b,0)、C(2a,2b,0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2atan)、M(0，b,0)、N(a，b，atan)(0,2b,0)，(2a,
5、2b，2atan)，(a,0，atan)(0,2b,0)(a,0，atan)0，即ABMN.若MNPC，即(a,0，atan)(2a,2b，2atan)2a22a2tan20，则tan21，而是锐角，tan1，45.即当45时，直线MN是直线AB与PC的公垂线10已知四面体ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明证法一：先将已知条件转化为0，0，再证明0.ABCD，ACBD，0，0.()() 2 2()0.，从而ADBC.证法二：设a，b，c，ABCD，(ba)(c)acbc0，acbc；ACBD，(ca)(b)abbc0，abbc；acab，(a)(cb)abac0，ADBC.一
6、、选择题1已知空间四边形ABCD中，ACBD，顺次连接各边中点P、Q、R、S，如下图，所得图形是()A长方形B正方形C梯形D菱形答案D解析.同理，四边形PQRS为平行四边形，又，|，即PSBD，又|，PQAC，ACBD，PSPQ，四边形ABCD为菱形2已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中在平面内的是()A(1，1,1)B(1,3，)C(1，3，)D(1,3，)答案B解析对于选项A，(1,0,1)，n5，与n不垂直，排除A；同理可排除C、D.对于选项B，有(1，4，)，n0，选B.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、A
7、C的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直 D不能确定答案B解析取AB的中点为P，连接MP、NP.由于M、N分别是A1B、AC的中点依题意易得ABMP，ABNP，而MPNPP，AB平面MNP，又MN平面MNP，ABMN，而在正方体AC1中，是平面BB1C1C的一个法向量，0，故MN平面BB1C1C，故选B.4对于任意空间向量a(a1，a2，a3)、b(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：ab；若a1a2a31，则a为单位向量；aba1b1a2b2a3b30.其中真命题的个数为()A0B1C2D3答案B解析由ab，反之不一定成立，故不正确；显然错误；是正确的，故选B.
8、二、填空题5已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1,1)，平面过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面内的任一点，则点P的坐标满足的条件为_答案xyz3解析由题意知，OA，直线OA的方向向量(1,1,1)，因为P，(1,1,1)(x1，y1，z1)0，xyz3.6在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,3)、B(2,1，1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为_答案(，0，)解析设点C的坐标为(x,0，z)，则(x1,2，z3)，(1,3，4)，因为与共线，所以，解得，所以点C的坐标为(，0，)三、解答题7设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条
9、件判断l1，l2的位置关系；(1)a(4,6，2)、b(2，3,1)；(2)a(5,0,2)、b(0,1,0)；(3)a(2，1，1)、b(4，2，8)解析(1)a(4,6，2)、b(2，3,1)，a2b，ab，l1l2.(2)a(5,0,2)、b(0,1,0)，ab0，ab，l1l2.(3)a(2，1，1)，b(4，2，8)，a与b不共线也不垂直l1与l2相交或异面8在正四棱锥PABCD中，底面正方形边长为3，棱锥的侧棱长为5，E、F、G分别为BC、CD、PC的中点，用向量方法证明下列问题(1)EFPA；(2)EF平面PBD；(3)直线PA与平面EFG不平行解析设AC与BD的交点为O，PABCD为正四棱锥，PO平面ABCD，且ACBD，以O为原点，OB，OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，正方形ABCD边长为3，OBOC3，又PC5，OP4，A(0，3,0)、B(3,0,0)、C(0,3,0)、D(3,0,0)、P(0，0,4)(1)E、F分别为BC、CD的中点，E(，0)、F(，0)，(3,0,0)、(0，3，4)，0，EFPA.(2)显然(0,3,0)为平面PBD的一个法向量，0，EF平面PBD.(3)G为PC中点，G(0，2)，设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，.取n(0,1,0)，n30，PA与平面EFG不平行