1、北京市大兴区2020届高三数学第一次综合练习考试试题本试卷共6页，满分150分考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）在复平面内，对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（2）已知集合，则（A） （B） （C） （D）（3）已知等差数列的前n项和为，则等于（A） （B） （C） （D）（4）下列函数中，在区间上单调递增且存在零点的是（A） （B） （C） （D）（5）在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含项
2、的系数等于（A） （B） （C） （D）（6）若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于 （A） （B） （C） （D）（7）已知数列是等比数列，它的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为，那么该几何体的最长棱的棱长为（A）3 （B） （C） （D）（9）已知函数若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，则的最大整数值为（A） （B） （C） （D）（10）如图，假定两点，以相同的初速度运动点沿直线作匀速运动，
3、；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()令与同时分别从，出发，那么，定义为的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底当点从线段的三等分点移动到中点时，经过的时间为（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知向量， 若，则 ； （12）若函数在区间上单调减区间，则m的一个值可以是 ；（13）若对任意，关于x的不等式恒成立，则实数的范围是 ；（14）已知为函数图象上两点，其中已知直线AB的斜率等于2，且，则 ； ；（15）在直角坐标系中，双曲线（）的离心率，其渐
4、近线与圆 交轴上方于两点，有下列三个结论： ；存在最大值； 则正确结论的序号为 三、解答题共6题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（16）（本小题14分）在中，且的面积为（）求a的值；（）若D为BC上一点，且 ，求的值从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答（17）（本小题14分）为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从校抽取了名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，并得到如下频率分布直方图根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标。已知本次测试中不
5、达标学生共有20人（）求的值；（）现从校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记表示成绩不低于90分的人数，求的分布列及数学期望；（）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由。（18）（本小题14分）如图，在三棱柱中，是的中点，E是棱上一动点.（）若E是棱的中点，证明：；（）求二面角的余弦值； （）是否存在点E，使得，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由。 （19）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，且经过点，一条直
6、线与椭圆C交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点（）求椭圆C的标准方程；（）求证：为定值（20）（本小题15分）已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求证：函数有且只有一个零点.（21）（本小题14分）已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为.（）对于数列：，写出集合及；（）求证：不可能为18；（）求的最大值以及的最小值20192020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习高三数学参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案DDBCAB CDBD二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）
7、（12）答案不唯一，只要 （13）（或 （14）；（第一个空3分，第二个空2分）（15） （不选或有错选得0分，只选对1个得3分，全部选对得5分）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（） 由于 ， ， 2分所以 3分由余弦定理 ， 5分解得 6分（）当时， 在中，由正弦定理， 2分 即，所以 4分因为，所以 6分所以， 7分即 8分当时，在中，由余弦定理知， 3分因为，所以， 4分所以， 5分所以 ， 7分即 8分（17）（共14分）解：（）由频率分布直方图知， 2分解得. 3分（）方法1：由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为 ， 1分由已知，的所有可能取值为， 2分则
8、，. 5分所以的分布列为X012P0.810.180.016分所以. 7分方法2：由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为， 1分由已知， 2分则，. 5分所以的分布列为X012P0.810.180.016分所以. 7分（）机构M抽测的不达标率为 ， 1分机构N抽测的不达标率为 2分（以下答案不唯一，只要写出理由即可）用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理。 3分 理由：机构M选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代表性，所以，能较好反映了总体的分布。 4分没有充足的理由否认机构N的成绩更合理 3分理由：尽管机构N的样本量比机构M少，但由于样本的随机性，不能排除样本
9、较好的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构N的成绩更合理。 4分（18）（共14分）（）证明：取中点为，连结，在中，因为为的中点，所以且.1分又因为是的中点，所以且，所以为平行四边形所以. 2分又因为平面， .3分平面，所以平面. 4分（）连结， 因为是等边三角形，是的中点，所以，因为，所以.因为，平面，所以平面， 所以两两垂直.如图，建立空间直角坐标系， 1分则， 设平面的法向量为，则， 2分即， 3分令，则，所以. 4分平面ABC的法向量为，. 又因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 6分（如果没有建立坐标系，利用二面角的定义，比照步骤给分。）（）， 1分， 设，则， 所
10、以， 2分所以， 假设，则 解得， 3分这与已知矛盾。 原命题得证. 4分（19）（共14分）（）因为椭圆经过点，所以， 1分又因为，则， 2分由，得， 3分所以椭圆的标准方程为 4分（）方法一因为以为直径的圆过坐标原点，所以 1分若直线的斜率不存在，则为椭圆与轴交点，为椭圆与轴交点，因此，则 2分若直线的斜率存在且为0，则为椭圆与轴交点，为椭圆与轴交点，因此，则. 3分若直线的斜率存在且不为0，可设直线方程为，则直线的方程为 4分联立，得， 5分即， 6分即， 7分同理， 8分则 10分方法二若直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立得：，有， 2分由题意，设，所以， 3分因为以为直径的圆过原点
11、，由，得 ， 4分即，整理得， 5分而 6分设h为到的距离，则所以，而，所以. 8分若直线的斜率不存在，则有， 9分不妨设，设，有，代入椭圆方程得，即，综上 10分（20）（共15分）（）解；当时，函数， 1分， 2分， 3分， 4分所以函数在点处的切线方程是5分（）解法1函数的定义域为， 1分设（），当或且0，即时，都有，所以，函数在是增函数， 2分又， 4分若时， ，函数在有且只有一个零点，5分若时，由于，所以在存在唯一零点 6分当时，方程的判别式，设方程的两根为，不妨设，由韦达定理可知， 7分所以，+0-0+增极大值减极小值增因为，所以，所以， 8分由上可知， 9分存在唯一的使得，所以函
12、数在有且只有一个零点综上所述，对任意的函数有且只有一个零点10分解法2函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于x的方程在上有且只有一个解设函数， 1分则， 2分令， 则， 3分由，得 4分x单调递减极小值单调递增由于， 5分所以， 所以在上单调递增， 6分又， 8分当时， ，函数在有且只有一个零点，当时，由于，所以存在唯一零点综上所述，对任意的函数有且只有一个零点10分（21）（共14分）（），, 3分（）证明:假设， 1分设则= 2分即，因为所以 3分同理，设可以推出， 4分中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，不可能为18. 5分（）的最大值为17，的最小值为16. 首先求，由（）知，而是可能的当时， 1分设则=即， 2分又得，即. 同理可得： 3分对于数列： 此时，满足题意所以的最大值为17； 4分现证明：的最小值为16.先证明为不可能的，假设. 5分设，可得，即，元素最大值为10，所以又，同理可以推出，矛盾，假设不成立，所以 数列为：时，中元素的最大值为16所以的最小值为16 6分