1、第一课时用向量方法解决平行问题课时演练促提升A组1.若直线l上有两点A(1,-3,5),B(-1,-1,4),那么直线l的一个方向向量是()A.(1,1,0)B.(4,-4,2)C.(-3,-3,0)D.(4,4,2)解析:由已知=(-2,2,-1),所有与共线的向量均为l的法向量,选项中与共线的只有(4,-4,2),故选B.答案:B2.若=+,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析:=+,共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案:D3.若平面内有不共线的两向量a=(3,1,-2),b=(2,-2,0),则下列向量中是平面法向量
2、的是()A.(2,2,-2)B.(-1,-1,2)C.D.(3,3,-6)解析:设平面的法向量为n=(x,y,z),依题意有令x=1,则y=1,z=2,于是n=(1,1, 2),而与n共线,故为平面的法向量.答案:C4.若直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,则可能使l的是()A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),u=(1,0,1)C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)D.a=(1,-1,3),u=(0,3,1)解析:l,au,即au=0.故选D.答案:D5.已知平面平面,n=(1,-1,1)是平面的一个法向量,则下列向量是平面的法向量的是()A.(1,1
3、,1)B.(-1,1,-1)C.(-1,-1,-1)D.(1,1,-1)解析:因为,所以两个平面的法向量应共线,只有B选项符合.答案:B6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,各棱对应的向量可作为面A1B1C1D1的法向量的个数为.解析:可以作面A1B1C1D1的法向量的有共8个.答案:87.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.解:如图,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).= (-1,1,0),=(-1,0,1),又n为平面ACD1的一个法向量,化简,得令x=1,得
4、y=z=1.平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).8.已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN平面CDE.证明:取AB,AD,AF所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),则E(0,3b,3c),M(2a,b,0),N(0,b,c).故=(-2a,0,c).又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),故=(-2a,0,c)(0,3b,0)=0,即.又MN平面CDE,故MN平面CDE.9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,
5、F,G,H,M,N分别是正方体六个表面的中心,证明:平面EFG平面HMN.证明:如图,建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为2,则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,1,2),M(1,2,1),N(0,1,1),所以=(0,-1,1),=(1,0,1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1).设m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别是平面EFG和平面HMN的一个法向量.由令x1=1,得m=(1,-1,-1).由令x2=1,得n=(1,-1,-1).于是有m=n,所以mn.故平面EFG平面HMN.B组1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中
6、,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则A1MD1P;A1MB1Q;A1M平面DCC1D1;A1M平面D1PQB1.以上正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:,从而A1MD1P.正确.答案:C2.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为()A.B.C.D.解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有取x=1,则y=-2,z=2.所以n=(1,-2,2).因为|n|=3,所以平面ABC的一个单位法向量可以是.答案:B3.已知A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,x),若AD平面ABC,则
7、实数x的值是.解析:易求得平面ABC的法向量u=(0,0,1),而=(1,1,x),故当AD平面ABC时,u=0.故10+10+x=0,即x=0.答案:04.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是AB的中点,点F是AA1上靠近点A的三等分点,在线段DD1上是否存在一点G,使CGEF?若存在,求出点G的位置,若不存在,说明理由.解:存在.如图,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则E,F,C(0,1,0),假设在DD1上存在一点G,使CGEF,则,由于点G在z轴上,设G(0,0,z),则=(0,-1,z).,=,即(0,-1,z)=.解得z=0,1,点G在线段
8、DD1上,其坐标为.故在线段DD1上存在一点G,使CGEF,点G是DD1上靠近点D1的三等分点.5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2,BB1=3,D是A1C1的中点.证明:A1B平面B1DC.证明:如图,以B为坐标原点,分别以BA,BC,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B1(0,0,3),C(0, 0),D,A1(,0,3).=(-,0,-3),方法一:因为,所以是共面向量,且不共线.又因为A1B平面B1DC,所以A1B平面B1DC.方法二:设平面B1DC的法向量为n=(x,y,z),则取n=.因为n=0,且A1B平面
9、B1DC,所以A1B平面B1DC.6.在如图所示的多面体中,EF平面AEB,AEEB,ADEF,EFBC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2, G是BC的中点,求证:AB平面DEG.证明:EF平面AEB,AE平面AEB,BE平面AEB,EFAE,EFBE.又AEEB,EB,EF,EA两两垂直.以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),=(0,2,2),=(2,2,0),=(2,0,-2).设平面DEG的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,得z=-1,x=-1,则n=(-1,1,-1),n=-2+0+2=0,即n.AB平面DEG,AB平面DEG.