1、20162017学年度北京市大兴区高三第一次综合练习数学（理）本试卷共4页，满分150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合，则（）ABCD2下列函数中，既是偶函数又有零点的是（）ABCD3执行如图所示的程序框图，输出的值为（）ABCD4设，则“”是“”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为（）ABCD6若，满足且有最大值，则的取值范围为（）ABCD7设函数（是常
2、数），若，则，之间的大小关系可能是（）ABCD8某公司有家直营店，现需将箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示利润直营店箱数根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A种B种C种D种第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 9复数_10设则_11已知双曲线的离心率为，则_12在极坐标系中，点到直线的距离是_13已知圆的弦长为，若线段是圆的直径，则_；若点为圆上的动点，则的取值范围是_14已知数列满足，表示不超过的最大整数（如），记，数列的前项和为若数列是公差为的等差数列，则_若数列是公比为的等比数列，则_三、解答题共6小题，共
3、80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题13分）在中，（）求；（）设的中点为，求中线的长16（本小题13分）某大型超市拟对店庆当天购物满元的顾客进行回馈奖励规则如下：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图），待转盘停止转动时，若指针指向扇形区域，则顾客可领取此区域对应面额（单位：元）的超市代金券假设转盘每次转动的结果互不影响（）若，求顾客转动一次转盘获得元代金券的概率；（）某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当时，求该顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率；（）记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为，当取何值时，的方差最小？（结论不要求证明）17（
4、本小题14分）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形为菱形，点是棱上不同于，的点，平面与棱交于点，（）求证：平面；（）求证：平面；（）若二面角为，求的长18（本小题13分） 已知函数，且（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数有最值，写出的取值范围（只需写出结论）19（本小题14分）已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为（）求椭圆的方程；（）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，设，求证：为定值20（本小题13分）若合集，为合集的个非空子集，这个集合满足：从中任取个集合都有成立；从中任取个合计都有成立（）若，写出满足题意得一组集合，；（）若，写出满足题意的一组集合，以及集合；（
5、）若，求集合中的元素个数的最小值大兴区20162017学年度第一次综合练习高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BDCDACBD二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）910 111213；14注：13、14第一空3分，第二空2分三、解答题（共6小题，共80分）15（共13分）解：（）由知，且所以由正弦定理及题设得即所以（）因为，所以为锐角所以因为，所以 所以. 在中，为的中点，所以 由余弦定理及题设得 所以中线16（共13分）解：（）设事件为“顾客转动一次转盘获得元代金券”， 由题意知 （）设事件为“顾客第一次获得代金券面额
6、不低于第二次获得的代金券面额”，设事件为“该顾客第转动转盘获得的超市代金券面额为”，由题意知，因此（）17（共14分）解：（）因为在三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，所以 又因为平面，平面，所以平面（2）因为，所以， 又因为平面平面，所以平面 所以又因为四边形为菱形，所以 所以平面 （）取线段中点，因为菱形中，所以又因为，所以又因为平面如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，所以设，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以 由（）知，是平面的一个法向量则因为二面角为，解得，或（舍）所以，即得长为 18（共13分） 解：（）当时，由题设知因为， 所以， 所以在处的切线方程为 （）因为，所以
7、 当时，定义域为 且 故的单调递减区间为，当时，定义区域为当变化时，的变化情况如下表：单调减极小值单调增极大值单调减故的单调递减区间为，单调递增区间为综上所述，当时，的单调递减区间为，；当时，故的单调递减区间为，单调递增区间为 （） 19（共14分）解：（）由题意有：，且，所以，所以椭圆的方程为 （）由题意直线过点，且斜率存在，设方程为，将代入得点坐标为， 由，消元得，设，则且， 方法一：因为，所以 同理，且与异号， 所以， ，所以，的定值为方法二：由题意，当时，（若：不妨设，加一分）有，且， 所以，且，所以，同理，从而， ， 当时，同理可得 所以，为定值方法三：由题意直线过点，设方程为，将代
8、入得点坐标为， 由，消元得，设，则且， 因为，所以 同理，且与异号， 所以， 又当直线与轴重合时， 所以，为定值20（共13分） 解：（）， （）， （）集合中元素个数的最小值为个下面先证明若，则，反证法：假设，不妨设由假设，设，设，则是，中都没有的元素，因为， ，四个子集的并集为，所以与矛盾，所以假设不正确若，且，成立则，的个集合的并集共计有个把集合中个元素与，的个集合的并集建立一一对应关系，所以集合中元素的个数大于等于下面我们构造一个有个元素的集合：把与对应的元素放在异于，的集合中，因此对于任意一个个集合的并集，它们都不含与对应的元素，所以同时对于任意的个集合不妨为 ，的并集，则由上面的原则与，对应的元素在集合中，即对于任意的个集合，的并集为全集