1、高2006级第二次诊断性考试 理科数学试题卷 (06.04.20)数学试题（理科）分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间为120分钟。注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2答选择题时，必须准确填写所选番号，并填写在答题卡的相应位置。3答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷上答题无效。5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率第一部分（选择题 共50分）一、
2、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案前的番号填在答题卡相应位置上。1、若为圆的弦的中点，则直线的方程为A B C D2、设复数，那么等于A B C D3、在中，成等差数列，是三边成等比数列的A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件4、已知是定义在R的奇函数，当时，那么的值为A2 B3 C D5、设是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与轴、轴方向相同的两个单位向量，且，则的面积等于A15 B10 C7.5 D56、在直二面角中，直线，直线与斜交，则A不能和垂直，也不能和平行 B可能和垂直
3、，也可能C不能和垂直，但可能 D不能和平行，但可能7、若抛物线的顶点坐标是，准线的方程是，则抛物线的焦点坐标为A B C D8、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的总利润分别为P和Q（万元），且它们与投入资金（万元）的关系是：；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中之一种所获得的利润总不小于5万元，则的最小值应为A B C5 D9、如果消息A发生的概率为，那么消息A所含的信息量为。若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是A王教授在第4排 B王教授在第4排第5列 C王教授在第5列 D王教授在某一排10、如
4、图，已知P是正三棱锥的侧面内一点，P到底面的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A圆 B抛物线 C椭圆 D双曲线第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案填写在答题卡相应位置上.11、已知定义在闭区间上的函数的最大值为3，那么实数的取值集合为_12、2005年10月12日，第五届亚太城市市长峰会在重庆会展中心隆重开幕。会议期间，为满足会议工作人员的需要，某宾馆将并排的4个房间安排给4个工作人员临时休息。假定每个人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，则每个房间恰好进去1人的概率是_13、已知的展开式中含项的系数为30，则正实数的
5、值为_14、若，则_15、如果函数满足：对任意实数都有，且，则_16、设函数的定义域为R。若存在与无关的正常数M，使对一切实数均成立，则称为有界泛函。在函数：，中，属于有界泛函的有_（填上所有正确的番号）三、解答题（本大题共6小题，共76分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答题解答过程应写在答题卡相应的位置上。17、（本题满分13分）已知函数，求（）函数的定义域和值域；（）写出函数的单调递增区间。18、（本题满分13分）用一枚质地均匀的硬币，甲、乙两人做抛掷硬币游戏，甲抛掷4次，记正面向上的次数为；乙抛掷3次，记正面向上的次数为。（）分别求和的期望；（）规定：若，则甲获胜；否则，乙获
6、胜。求甲获胜的概率。19、（本题满分13分）设是函数的两个极值点，且。（）证明：；（）证明：。20、（本题满分13分）如图，在长方体中，点E在棱上移动。（）证明：；（）当E为的中点时，求点E到面的距离；（）等于何值时，二面角的大小为。21、（本题满分12分）若为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足。（）求此双曲线的离心率；（）若此双曲线过点，求双曲线的方程；（）设（）中双曲线的虚轴端点为，过作直线与双曲线交于两点，求时，直线的方程。22、（本题满分12分）如图，将圆分成个扇形区域，用3种不同颜色给每一个扇形区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数
7、记为。求（）；（）与的关系式；（）数列的通项公式，并证明。高2006级第二次诊断性考试数学试题卷（理科）参考答案及评分意见一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案BACBDACBBC二、填空题（每小题4分，共24分）11 ； 12 ； 13； 14； 15； 16三、解答题（共76分）17.（本题满分13分）解：6分（）函数的定义域函数的值域为9分()令得12分函数的单调递增区间是13分18.（本题满分13分）解：（）由题意，所以 4分（） 8分甲获胜有以下情形：则甲获胜的概率为。13分19.（本题满分13分）证明：（） 是的两个极值点， 是方程的两个实数根。3分 ，
8、即 ， 7分（）设，则由得在区间上是增函数，在区间上是减函数，11分13分20.（本题满分13分）解法一：（）证明：，3分（）设点E到面的距离为，在中，故，而5分，于是8分（）过D作于H，连，则为二面角的平面角。9分设，则在中，在中，在中，在中，在中，12分当时，二面角的大小为。13分解法二：以D为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则。（）因为，所以。4分（）因为E为中点，则，从而，设平面的法向量为，则，也即，得，从而，所以点E到平面的距离为8分（）设平面的法向量为，由，有，令，从而由题意，即。（不合题意，舍去），。当时，二面角的大小为。13分21.（本题满分12分）解：（）由知
9、四边形是平行四边形，1分又由知平分，四边形是菱形。2分设半焦距为，由知 又，即4分（） 12分双曲线方程为，将代入有即所求双曲线的方程为。7分（）由题意知设直线的方程为则由，有8分双曲线的渐近线为当时，与双曲线只有一个交点。则又由有10分直线的方程为。12分22.（本题满分12分）解：（） 当时，不同的染色方法种数 ，1分当时，不同的染色方法种数 ，2分当时，不同的染色方法种数 ，3分当时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形不同的染色方法种数 。4分（）依次对扇形区域染色，不同的染色方法种数为，其中扇形区域1与不同色的有种，扇形区域1与同色的有种6分（）12分将上述个等式两边分别乘以，再相加，得，9分从而。10分（）证明：当时，当时， ，当时， ，故12分高2006级理科数学二诊试题第9页 （共9页）