1、2.4.1抛物线及其标准方程课时演练促提升A组1.抛物线y=-x2的焦点坐标为()A.B.C.D.解析:把y=-x2化为标准方程x2=-y,可知抛物线开口向下,且2p=1,故焦点坐标为.答案:D2.一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点()A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(4,0)解析:抛物线为y2=8x,准线方程为x=-2.由题意得,圆心到定点的距离与圆心到直线x+2=0的距离相等,根据抛物线定义得圆必过抛物线y2=8x的焦点(2,0).答案:C3.已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为()A
2、.B.1C.2D.4解析:由抛物线的标准方程,得准线方程为x=-.由x2+y2-6x-7=0,得(x-3)2+y2=16.准线与圆相切,3+=4,即p=2.答案:C4.点P为抛物线y2=2px上任一点,F为焦点,则以P为圆心,以|PF|为半径的圆与准线l()A.相交B.相切C.相离D.位置由F确定解析:由抛物线的定义可知点P到焦点F的距离等于到准线的距离,即圆心到准线的距离等于半径,故圆与准线相切.答案:B5.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点F的距离为9,则点P的坐标为()A.(7,)B.(14,)C.(7,2)D.(-7,2)解析:设P(x0,y0),点P到其焦点的距离等于点P到其准线x=
3、-2的距离,由|PF|=9,得x0+=9,即x0=9-2=7.y0=2.故选C.答案:C6.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为.解析:将y=ax2化为x2=y.因为准线方程为y=2,所以抛物线开口向下,0)的焦点,点P在抛物线上,且其到y轴的距离与到点F的距离之比为12,则|=.解析:由抛物线的定义,知点P到y轴的距离与其到准线的距离之比为12,设点P(x,y).因为抛物线的准线为x=-,则x+=2x,x=,所以P.又F,所以|=.答案:9.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m的值;(2)求抛物线的焦点和准线方程.解:(1)点
4、(-3,m)在y轴左侧,抛物线焦点在x轴上,抛物线开口向左.设方程为y2=-2px(p0).点M到焦点的距离为5,3+=5,p=4.抛物线的方程为y2=-8x.把点M(-3,m)代入抛物线方程,得m2=24,m=2.(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为x=2.10.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.解:设抛物线的方程为y2=2px(p0),根据点在抛物线上可得=2p,解得p=2.故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.抛物线的准线过双曲线的一个焦点,c=1
5、,即a2+b2=1.故双曲线方程为=1.点在双曲线上,=1,解得a2=或a2=9(舍去).同时b2=,故所求双曲线的方程为=1.B组1.已知动点M的坐标满足方程5=|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对解析:方程5=|3x+4y-12|可化为,动点M到原点的距离与到直线3x+4y-12=0的距离相等.点M的轨迹是以原点为焦点,直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.答案:C2.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点.若=-4,则点A的坐标为()A.(2,2)B.(1,2)C.(1,2)D.(2,2)解析:设点A,则.由=-4,
6、得=-4,解得=4.此时点A的坐标为(1,2)或(1,-2).答案:B3.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为.解析:如图,由已知,得点B的纵坐标为1,横坐标为,即B.将其代入y2=2px,得1=2p,解得p=,故点B到准线的距离为p=.答案:4.已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.解:方法一:设点P的坐标为(x,y),则有=|x|+1.两边平方并化简,得y2=2x+2|x|.故y2=即点P的轨迹方程为y2=4x(x0)或y=0(x0).方法二:由题意,动点P到定点F(
7、1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x0时,直线y=0上的点符合条件;当x0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x.故所求动点P的轨迹方程为y2=4x(x0)或y=0(x0),则点B的坐标为.因为点B在抛物线上,所以=-2p,p=,所以抛物线方程为x2=-ay.将点E(0.8,y)代入抛物线方程,得y=-.所以点E到拱底AB的距离为-|y|=3.解得a12.21.因为a取整数,所以a的最小值为13.6.定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移动,求AB中点到y轴距离的最小值,并求出此时AB中点的坐标.解:如图,F是抛物线y2=x的焦点,A,B两点到准线的垂线分别是AC,BD,过AB的中点M作准线的垂线MN,C,D,N为垂足,则|MN|=(|AC|+|BD|),由抛物线定义知|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.|MN|=(|AF|+|BF|)|AB|=.设点M的横坐标为x,|MN|=x+,则x.当弦AB过点F时等号成立,此时,点M到y轴的最短距离为.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2x.当x=时,y1y2=-p2=-,(y1+y2)2=+2y1y2=2x-=2.y1+y2=,得y=,即M.