1、金陵中学2020至2021学年第二学期高二年级期初学情调研测试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1已知i为虚数单位，则i2021等于( )A iB 1C iD 12在平面直角坐标系xOy中，椭圆1的焦点坐标是( )A (1，0)B (3，0)C (0，1)D (0，3)3若函数yx2ex在区间(1a，a1)上存在极值点，则实数a的取值范围是( )A(3，) B(1，) C(1，) D(3，)4为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为:乐器1人，舞蹈
2、2人，演唱2人若每人只参加1个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同推荐方案的种数为( )A 12B 24C 36D 485函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数( )A (，)B (，2)C(，) D (2，3)6已知某人射击一次命中目标的概率为，且每次射击相互独立，则此人射击7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为( )A C()7BC()7 CC()7 D A()77已知函数f(x)xsinx，则不等式f(x1)f(22x)0的解集是( )A (，)B(3，) C (，)D (，3)8法国的数学家费马(Pierrede Fermat)曾在一本数学书的空白处写下一个看起
3、来很简单的猜想:当整数n2时，找不到满足xnynzn的正整数解该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理现任取x，y，z，n1，2，3，4，5，则等式xnynzn成立的概率为( )A B C D 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分9在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( )A P(X2)B 随机变量X服从二项分布C 随机变量X服从超几何分布DE(X)10已知三个数1，a
4、，9成等比数列，则圆锥曲线1的离心率为( )A B C D 11某校高二年级进行选课走班，已知语文数学英语是必选学科，另外需要从物理化学生物政治历史地理6门学科中任选3门进行学习现有甲乙丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是( )A 甲选课的不同的选法种数为10B 甲乙丙三人至少一人选化学与这三人全选化学是对立事件C 乙同学在选物理的条件下选化学的概率是D 乙丙两名同学都选物理的概率是12已知函数f(x)ln|x|x，给出下列四个结论，其中正确的是( )A 曲线yf(x)在x1处的切线方程为xy10B f(x)恰有2个零点C f(x)既有最大值，又有最小值D 若x1x20且f(x1)f(
5、x2)0，则x1x21三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13若曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线x2y60垂直，则实数a的值为_14若zC，且|z34i|2，则|z|的取值范围为_15若对任意实数x，y都有(x2y)5a0(x2y)5a1(x2y)4ya2(x2y)3y2a3(x2y)2y3a4(x2y)y4a5y5，则a0a1a2a3a4a5的值为_16已知函数f(x)(x1)sinxcosx，若对于任意的x1，x20，(x1x2)，均有|f(x1)f(x2)|a|ee|成立，则实数a的取值范围为_四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题
6、卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题共10分)为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分在竞赛中，甲乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求乙队总得分为1分的概率18(本小题共12分)若()n的二项式展开式中前三项的系数和为163，求:(1)该二项式展开式中所有的有理项；(2)该二项式展开式中系数最大的项19(本小题共12分)如图，在正四棱柱ABC
7、DA1 B1 C1 D1中，AA12，AB1，点N是BC的中点，点M在线段CC1上(不含端点)设二面角A1DNM的大小为(1)当90时，求AM的长；(2)当cos 时，求CM的长20(本小题共12分)高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为:80，90)，90，100)，100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150其中a，b，c成等差数列且c2a物理成绩统计如表(说明:数学满分150分，物理满分100分)分组 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100频数6920105(1)根据频率分布直
8、方图，求出实数a，b，c的值以及数学成绩为“优”的人数；(2)若数学成绩不低于140分等第为“优”，物理成绩不低于90分等第为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从该6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和数学期望21(本小题共12分)已知函数f(x)2x3ax21(aR).(1)若a3，求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，若函数f(x)在1，1上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值22(本小题共12分)已知函数f(x)axlnx(aR)(1)若f(x)是定义域上的增函数，求a的取值范围；(2)当a时，若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x
9、2)，求f(x1)f(x2)的取值范围金陵中学2020至2021学年第二学期高二年级期初学情调研测试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1已知i为虚数单位，则i2021等于( )A iB 1C iD 1【答案】A【解析】i2021(i4)505ii故选A2在平面直角坐标系xOy中，椭圆1的焦点坐标是( )A (1，0)B (3，0)C (0，1)D (0，3)【答案】C【解析】由已知:a25，b24，c21，c1，且焦点在y轴上，所以焦点为(0，1)，故选C3若函数yx2ex在区间(1a，
10、a1)上存在极值点，则实数a的取值范围是( )A(3，) B(1，) C(1，) D(3，)【答案】B【解析】函数yx2ex的导数为y2xexx2exxex(x2)，令y0，则x0或x2，当x(2，0)时，f(x)单调递减，当x(，2)和x(0，)时，f(x)单调递增，所以0和2是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)x2ex在区间(1a，a1)上存在极值点，所以1a2a1或1a0a1，解得a1，故选B4为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为:乐器1人，舞蹈2人，演唱2人若每人只参加1个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同推荐方案的种数为(
11、)A 12B 24C 36D 48【答案】B【解析】第一类:3名女生各参加1项，2名男生在舞蹈演唱中各参加1项，有AA12种方案； 第二类:有2名女生参加同一项，有CAA12种方案 所以共有121224种方案 故选B5函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数( )A (，)B (，2)C(，) D (2，3)【答案】B【解析】令f(x)xcosxsinx，则f(x)cosxxsinxcosxxsinx，可得x(2k，2k2)，kN，结合选项可知B正确，故选B6已知某人射击一次命中目标的概率为，且每次射击相互独立，则此人射击7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为( )A C()7BC
12、()7 CC()7 D A()7【答案】D【解析】先排3次不中的有C1种排法，其中3次不中有4个空，在这4个空中分别插入3次连中和1次中的有A中排法，射击一次命中目标的概率为，且每次射击相互独立，则此人射击7次，此人射击7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为PA()7故选D7已知函数f(x)xsinx，则不等式f(x1)f(22x)0的解集是( )A (，)B(3，) C (，)D (，3)【答案】D【解析】f(x)xsinx，f(x)xsinxf(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f(x)1cosx0恒成立，则函数f(x)在R上是增函数，则不等式f(x1)f(22x)0等价为f(x
13、1)f(22x)f(2x2)，即x12x2，解得x3，故不等式的解集为(，3)故选D8法国的数学家费马(Pierrede Fermat)曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想:当整数n2时，找不到满足xnynzn的正整数解该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理现任取x，y，z，n1，2，3，4，5，则等式xnynzn成立的概率为( )A B C D 【答案】C【解析】x，y，z，n1，2，3，4，5，则基本事件的总数为54625，当n2时，由费马大定理知等式xnynzn不成立；当n2时，(x，y，z)可取(3，4，5)，(4，3，5)，共2种情况；当n1时，(x，y，z)可取(1
14、，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，(2，2，4)，(1，3，4)，(3，1，4)，(1，4，5)，(4，1，5)，(2，3，5)，(3，2，5)总10种情况，使等式成立的基本事件个数为12，故等式成立的概率为故选C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分9在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( )A P(X2)B 随机变量X服从二项分布C 随机变量X服从超几何分布D
15、E(X)【答案】ACD【解析】由题意知:随机变量X服从超几何分布，因此B错误，C正确；随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，X01234pE(X)，所以A与D都正确故选ACD10已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线1的离心率为( )A B C D 【答案】BC【解析】三个数1，a，9成等比数列，a29，则a3，当a3时，曲线方程为1，表示椭圆，则长半轴长为，半焦距为1，离心率为；当a3时，曲线方程为1，表示双曲线，则实半轴长为，半焦距为，离心率为故选BC11某校高二年级进行选课走班，已知语文数学英语是必选学科，另外需要从
16、物理化学生物政治历史地理6门学科中任选3门进行学习现有甲乙丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是( )A 甲选课的不同的选法种数为10B 甲乙丙三人至少一人选化学与这三人全选化学是对立事件C 乙同学在选物理的条件下选化学的概率是D 乙丙两名同学都选物理的概率是【答案】AD【解析】A项:由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选两门即可，即C10种选法，故A正确； B项:甲乙丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故B错误； C项:由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是，故C错误； D项:因为乙丙两名同学各自选物理的概率为， 所以乙丙两名同学都选物理的概率是，故D正确， 故选AD12已知
17、函数f(x)ln|x|x，给出下列四个结论，其中正确的是( )A 曲线yf(x)在x1处的切线方程为xy10B f(x)恰有2个零点C f(x)既有最大值，又有最小值D 若x1x20且f(x1)f(x2)0，则x1x21【答案】BD【解析】对于A，当x0时，由于函数f(x)lnxx，所以f(x)1，所以f(1)0，f(1)11，所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为y1(x1)，即xy10，故A错误；对于BC，因为x0时，f(x)0，所以f(x)在区间(0，)上单调递减同理可求f(x)在区间(，0)上单调递减，所以C错误；又f(1)0，f(1)0，所以f(x)恰有2个零点，所以B正确；对于D，
18、若x10，x20，由f(x1)f(x2)0，得f(x1)f(x2)(lnx2x2)lnf()，即f(x1)f()因为f(x)在(0，)上单调递减，所以x1，即x1x21同理可证当x10，x20时，命题也成立故D正确故选BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13若曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线x2y60垂直，则实数a的值为_【答案】1【解析】由yax2，得y2ax，y|x12a，曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线x2y60垂直，2a2，a1故答案为:114若zC，且|z34i|2，则|z|的取值范围为_【答案】3，7【解析】设zxyi，
19、(x，yR)，则|z34i|(x3)(y4)i|2，所以点z是复平面内以(3，4)为圆心，2为半径的圆上或圆内的点；|z|表示点z到原点的距离，|OC|5，OA523为最小值，OB527最大值，故取值范围为3，7故答案为3，715若对任意实数x，y都有(x2y)5a0(x2y)5a1(x2y)4ya2(x2y)3y2a3(x2y)2y3a4(x2y)y4a5y5，则a0a1a2a3a4a5的值为_【答案】243【解析】根据系数之间的关系，令x2y1，y1，x1，y1，a0a1a2a3a4a5(3)5243，故答案为24316已知函数f(x)(x1)sinxcosx，若对于任意的x1，x20，(
20、x1x2)，均有|f(x1)f(x2)|a|ee|成立，则实数a的取值范围为_【答案】1，)【解析】由题意，函数f(x)xsinxsinxcosx，求导得f(x)xcosxcosx(x1)cosx，则由x0，可知f(x)0恒成立，故f(x)在x0，单调递增，不妨设x1x2，则|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x1)，|ee|ee，从而有f(x2)f(x1)a(ee)恒成立，即f(x2)aef(x1)ae恒成立，设g(x)f(x)aex，则g(x)在x0，单调递减，所以g(x)(x1)cosxaex0恒成立，整理得a恒成立，设h(x)，求导得，h(x)0，所以h(x)单调递减，则要a()ma
21、x恒成立，只要ah(0)1，故答案为1，)四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题共10分)为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分在竞赛中，甲乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求乙队总得分为1分的概率【答案】(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B甲队得3分，即三人都回答正
22、确，其概率P(A)3分甲队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错，其概率P(B)(1)(1)(1)(1)(1)(1)C()2=6分答:甲队总得分为3分的概率为，甲队总得分为1分的概率为(2)记“乙队总得分为1分”为事件C事件C即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则P(C)(1)(1)(1)(1)(1)(1)10分答:乙队总得分为1分的概率为18(本小题共12分)若()n的二项式展开式中前三项的系数和为163，求:(1)该二项式展开式中所有的有理项；(2)该二项式展开式中系数最大的项【答案】展开式前三项的系数为1，2C，4C由题意得12C4C163，整理得n281，所以n92分(1)设
23、展开式中的有理项为Tk1，由Tk1C()9k()k2kCx，又0k9，k2或6故有理项为T322Cx144x3，T726Cx53766分(2)设展开式中Tk1项的系数最大，则k，又kN，k6，故展开式中系数最大的项为T7537612分19(本小题共12分)如图，在正四棱柱ABCDA1 B1 C1 D1中，AA12，AB1，点N是BC的中点，点M在线段CC1上(不含端点)设二面角A1DNM的大小为(1)当90时，求AM的长；(2)当cos 时，求CM的长解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz设CMt(0t2)，则各点的坐标为A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(，1，0)，M(0，1，t)
24、所以(，1，0)，(0，1，t)，(1，0，2)设平面DMN的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n10，n10即x12 y10，y1 tz10，令z11，则y1 t，x12 t所以n1(2t，t，1)是平面DMN的一个法向量3分设平面A1 DN的法向量为n2(x2，y2，z2)，则n20，n20即x22 z20，x22 y20令z21，则x22，y21所以n2(2，1，1)是平面A1 DN的一个法向量6分从而n1n25 t1(1)因为90，所以n1n25 t10，解得t从而M(0，1，)所以AM8分(2)因为|n1|，|n2|，所以cosn1，n2因为n1，n2或，所以|，解得t0或t所以t
25、，从而CM的长为12分20(本小题共12分)高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为:80，90)，90，100)，100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150其中a，b，c成等差数列且c2a物理成绩统计如表(说明:数学满分150分，物理满分100分)分组 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100频数6920105(1)根据频率分布直方图，求出实数a，b，c的值以及数学成绩为“优”的人数；(2)若数学成绩不低于140分等第为“优”，物理成绩不低于90分等第为“优”，已知本班中至少有一个“
26、优”同学总数为6人，从该6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和数学期望【答案】解:(1)由于ab2c0.052，ac2b，c2a，解得a0.008，b0.012，c0.016，数学成绩为“优”的人数:50a104(人)4分(2)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，6分故X的取值为0123P(X0)，P(x1)，P(X2)，P(X3)X0123PE(X)012312分21(本小题共12分)已知函数f(x)2x3ax21(aR).(1)若a3，求函数f(x)的单调区间；(2)当a0
27、时，若函数f(x)在1，1上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值【答案】解:(1) f(x)2x3ax21，令f(x)6x22ax2x(3xa)0，得x10，x21，当a3时，由f(x)0得x0或x1，即函数f(x)在(，0)和(1，)上单调递增，由f(x)0得0x1，即函数f(x)在(0，1)上单调递减，所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(1，)，单调递减区间为(0，1)4分(2)当a0时，函数f(x)在(，0)，(，)上单调递增，在(0，)上单调递减，此时函数f(x)有两个极值点，极大值为f(0)1，极小值为f()1，且f(1)a1，f(1)3a 1若1，即a3时，f(x)max
28、f(0)1，此时f(1)f(1)，所以f(x)minf(1)a1，由f(x)maxf(x)min1可得1(a1)1，即a1，不符合题意，舍去6分 2若01，即0a3时，比较f(1)与f(0)的大小若f(1)f(0)，即3a1，也即0a2时，此时f(x)maxf(1)3a，又因为f()10，f(1)a10，所以f(x)minf(1)1a，由f(x)maxf(x)min1可得(3a)(1a)1，即a，符合题意9分若f(1)f(0)，即3a1，即2a3时，此时f(x)maxf(0)1又因为f()10，f(1)a10，所以f(x)minf(1)1a，由f(x)maxf(x)min1可得1(1a)1，即
29、a1，不符合题意综上所述，所求实数a的值为12分22(本小题共12分)已知函数f(x)axlnx(aR)(1)若f(x)是定义域上的增函数，求a的取值范围；(2)当a时，若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，求f(x1)f(x2)的取值范围【答案】解:(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a，f(x)在定义域内单调递增，f(x)0，即ax2xa0对x0恒成立，则a恒成立，a()max，当且仅当x1时上式取等，a，所以，a的取值范围是，)3分(2)设方程f(x)0，即ax2xa0的两根为x1，x2，且0x1x2，由14a20且a，得a，x1x21，x1x2，5分2x1，x11，f(x1)f(x2)ax1lnx1(ax2lnx2)ax1lnx1(ax1lnx1)2(ax1lnx1)，ax12x1a0，a代入得f(x1)f(x2)2(lnx1)2(lnx12)，8分令x12t，则t1，令g(t)lnt，t1，g(t)0，g(t)在(，1)上递减，从而g(1)g(t)g()，即0g(t)ln2，所以f(x1)f(x2)的取值范围为(0，2ln2)12分