1、课时作业57直线与圆锥曲线1直线yx3与双曲线1(a0，b0)的交点个数是(A)A1 B2C1或2 D0解析：由直线yx3与双曲线1的渐近线yx平行，故直线与双曲线的交点个数是1.2(2019山东聊城一模)已知直线l与抛物线C：y24x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(D)Ayx1 By2x5Cyx3 Dy2x3解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有得yy4(x1x2)，由题可知x1x2.2，即kAB2，直线l的方程为y12(x2)，即2xy30.故选D.3(2019湖北武汉调研)已知直线ykx1与双曲线x2y24的右支有两个交点，则k的取值范围为(D
2、)A. BC. D解析：由题意知k0，联立整理得(1k2)x22kx50，因为直线ykx1与双曲线x2y24的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x1，x2，所以解得1k，即k，故选D.4已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(D)A. BC. D解析：易知p4，直线AB的斜率存在，抛物线方程为y28x，与直线AB的方程y3k(x2)联立，消去x整理得ky28y16k240，由题意知644k(16k24)0，解得k2或k.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k2，故k，可得B(8,8)，又F(2
3、,0)，故kBF，故选D.5(2019湖北武汉调研)已知不过原点O的直线交抛物线y22px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA2，kAB6，则OB的斜率为(D)A3 B2C2 D3解析：由题意可知，直线OA的方程为y2x，与抛物线方程y22px联立得得即A，则直线AB的方程为yp6，即y6x2p，与抛物线方程y22px联立得得或所以B，所以直线OB的斜率为kOB3.故选D.6已知双曲线y21的右焦点是抛物线y22px(p0)的焦点，直线ykxm与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是线段AB的中点，则AOB(O为坐标原点)的面积是(D)A4 B3C. D2解析：由已知可得双曲
4、线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p4，所以抛物线方程为y28x，又因为直线ykxm与抛物线相交于A，B两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kxm)28xk2x2(2km8)xm20，x1x2，x1x2.又因为M(2,2)是线段AB的中点，所以x1x24，且22km，联立解得k2，m2.|AB|x1x2|2.O到AB的距离d.SAOB22.7(2019泉州质检)已知双曲线C：1(a0，b0)，F是双曲线C的右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D，E，则双曲线C的离心率e的取值范围为(B)A(，) B(，)C(，2)
5、D(1，)解析：法一：由题意知，直线l：y(xc)，由得x2x0，由x1x20，得b4a4，所以b2c2a2a2，所以e22，得e.法二：由题意，知直线l的斜率为，若l与双曲线左、右两支分别交于D，E两点，则，即a2b2，所以a2c2a2，e22，得e.8(2019洛阳统考)已知双曲线E：1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为(C)A4xy10 B2xy0C2x8y70 Dx4y30解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得，即.又线段AB的中点坐标是，因此x1x221，y1y2(1)22，即直线AB的斜率为，直线l的方程为y1，即2
6、x8y70.9(2019河南洛阳一模)已知直线y2x2与抛物线yax2(a0)交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若|AA|AA|，则a2.解析：由得ax22x20，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，设PQ的中点为M，则xMxA，yAax，由|AA|AA|可得AA0，即APAQ，又M是线段PQ的中点，2|AM|PQ|，由于MAx轴，|MA|2，又|PQ|x1x2|，425，解得a2，此时满足0成立故a2.10(2019鹰潭模拟)设P为双曲线1右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四
7、边形PAOB的面积为15.解析：设P(x0，y0)(不妨设P在第一象限)，A在第一象限，直线PA的方程为yy0(xx0)，直线OA方程为yx，联立解得xA，又P到渐近线OA的距离为d，又tanxOA，所以cosxOA.所以平行四边形PAOB的面积为S2SOPA|OA|d|6y05x0|15.11(2019云南11校跨区联考)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点证明：直线OD平分线段MN.解：(1)由题意得解得故椭圆E的方程为
8、1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0x1x2,2y0y1y2，由(1)可得F(1,0)，则直线DF的斜率为kDF，当n0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n0时，直线MN的斜率kMN.点M，N在椭圆上，整理得：0，又2x0x1x2,2y0y1y2，直线OP的斜率为kOP，直线OD的斜率为kOD，直线OD平分线段MN.12(2017天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y22px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
9、(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为，求直线AP的方程解：(1)设F的坐标为(c,0)依题意，a，ac，解得a1，c，p2，于是b2a2c2.所以，椭圆的方程为x21，抛物线的方程为y24x.(2)设直线AP的方程为xmy1(m0)，与直线l的方程x1联立，可得点P，故Q.将xmy1与x21联立，消去x，整理得(3m24)y26my0，解得y0或y.由点B异于点A，可得点B.由Q，可得直线BQ的方程为(x1)0，令y0，解得x，故D.所以|AD|1.又因为APD的面积为，故，整理得3m22|m|20，解得|m|，
10、所以m.所以，直线AP的方程为3xy30或3xy30.13(2019河南郑州一模)设抛物线y24x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|3，则BCF与ACF的面积之比(D)A. BC. D解析：不妨设点A在第一象限，B在第四象限，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xmy.由y24x得p2，因为|BF|3x2x21，所以x22，则y4x2428，所以y22，由得y24my40，由根与系数的关系，得y1y24，所以y1，由y4x1，得x1.过点A作AA垂直于准线x1，垂足为A，过点B作BB垂直于准线x1，垂足为B，易知CBB
11、CAA，所以.又|BB|BF|3，|AA|x11，所以.故选D.14已知双曲线1(a0，b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线yax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，则m的值为(A)A. BC2 D3解析：由双曲线的定义知2a4，得a2，所以抛物线的方程为y2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2x2上，所以y12x，y22x，两式相减得y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨设x1x2，又A，B关于直线yxm对称，所以1，故x1x2，而 x1x2，解得x11，x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M
12、(x0，y0)，则x0，y0，因为中点M在直线yxm上，所以m，解得m.15设抛物线C：y22px(p0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|FQ|OA|OB|0.解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x，得y0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2p2，根据弦长公式，|FP|FQ|y1|y2|y1y2|p2，而|OA|OB|p2，所以|FP|FQ|OA|OB|0.16(2019湖北调研)已知椭圆：1，过点P(1,1)
13、作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2，设l1与椭圆交于A、B两点，l2与椭圆交于C，D两点(1)若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；(2)若直线l1与l2的斜率都存在，记，求的取值范围解：(1)解法一(点差法)：由题意可知直线AB的斜率存在设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差得，直线AB的方程为y1(x1)，即x2y30.解法二：由题意可知直线AB的斜率存在设直线AB的斜率为k，则其方程为y1k(x1)，代入x22y24中，得x22kx(k1)240.(12k2)x24k(k1)x2(k1)240.4(k1)k24(2k21)2(k1)248(3k22k1)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点为(1,1)，(x1x2)1，则k.直线AB的方程为y1(x1)，即x2y30.(2)由(1)可知|AB| |x1x2|.设直线CD的方程为y1k(x1)(k0)同理可得|CD|. (k0)，0.211.令t3k，则t(，2 2，)，令g(t)1，t(，2 2，)，g(t)在(，2，2，)上单调递减，2g(t)1或1g(t)2.故221或122.