1、华南师范大学附中 20042005 学年度高三综合测试数学试题日期：2005年5月20日 星期四考试时间：9：0011：00 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 第卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题要求的）1、已知条件p：2，条件q：5x6，则是的（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件（C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件2、从2005名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2005人中剔除5人，再将剩下的2000人再按系统抽样的方法进行选取。则每人入选的概率是
2、(A) 不全相等(B) 均不相等 (C) 都相等且为 (D) 都相等且为 3、若P(2,1)为圆(x1)2 + y2 = 25的弦AB的中点, 则弦AB所在直线的方程是(A) 2x + y3 = 0(B) x + y1 = 0(C) xy3 = 0(D) 2xy5 = 04、设，则下列不等式成立的是(A) (B) (C) (D) 5、设i, j是平面直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，且= 4i +2j, =3i +4j，则 ABC的面积等于 (A) (B) 5(C) 10(D) 156、已知函数y=x22x+3在区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 (A) 1,+)(B)
3、 0,2(C) (,2(D) 1,27、已知q 为第二象限角，sin (p q )= , 则 cos 的值为(A) (B) (C) (D) 8、设f (x)、g (x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f / (x)g (x) f (x)g / (x)0，则当ax f (b) g (b)(B) f (x) g (a) f (a) g (x)(C) f (x) g (b) f (b) g (x)(D) f (x) g (x) f (a) g (a)9、数列 an 的前n项和为Sn，下列几个命题： 若an是等比数列，且am an = ap aq (m,n,p,q N*)，则m + n = p +
4、 q； 若an是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n也成等差数列； 若an是等比数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n也成等比数列； 若an是等比数列，则数列Sn可能是等差数列.其中正确的命题序号是 (A) (B) (C) (D) 10、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P BC1，Q BC，则D1P + PQ的最小值是(A) 2(B) (C) + 1 (D) 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）11、已知( )n的展开式中二项式系数之和为512，且展开式中的系数为9，则n = _，常数a的值为_。12、若正六
5、棱锥PABCDEF的侧棱PA与底边BC成450角，底面边长为a，则对角面面积最大的值是_。13、把曲线按向量a=（1，2）平移后得到曲线C2，曲线C2有一条准线方程为x=5，则k的值为 ；离心率e为 。14、设虚数z = a + b i (a,b R)，若z + R，则a的取值范围是_。三、解答题：本大题共 6 小题；共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、(本小题满分12分)高三（x）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成甲、乙两个小组进行验证性实验。（）甲组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），
6、求他们的实验至少有3次成功的概率；（）乙组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数x 的概率分布列和期望。16、(本小题满分12分)已知函数f(x) = cos2(x + )，g(x) = sin(2x + )。()要得到y = f(x)的图象，只需把y = g(x)的图象经过怎样的平移或伸缩变换？()求h(x) = f(x)g(x)的最大值及相应的x。17、(本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为4
7、5，底面ABCD为直角梯形，ABC = BAD = 90，PA = BC = AD()求证：平面PAC平面PCD；()在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB ？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由ADEPCB18、(本小题满分14分)已知数列的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有2Sn(n2)an1（）求数列的通项公式；（）设Tn = + + + + ，求19、(本小题满分14分)已知半圆x2+y2=4 (y0)，动圆与此半圆相切且与x轴相切.（）求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形；（）是否存在斜率为的直线l，它与（1）中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于A、B、C、D四点，且满足|
8、AD|=2|BC|？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.20、(本小题满分14分)已知函数（）若，求证：；（）是否存在实数，使方程有四个不同的实根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.华南师范大学附中 20042005 学年度高三综合测试数学试题参考答案一、选择题：BCCCB DCCAC二、填空题：(11) 9、16；(12) a2 ；(13) 3、；(14) (1,1)三、解答题：15、解：（）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所求概率。 4分（）依题意知x 的取值为：1，2，3，4，5。 5分且P(x = 1) = ，P(x = 2) = (1) = ，P(x
9、 = 3) = (1)2 = ，P(x = 4) = (1)3 = ，P(x = 5) = (1)41 = 。 8分的分布列为：x12345P10分. 12分16、解：()因为f(x) = = cos(2x + ) = sin(2x + )， 4分所以要得到f(x)的图象只需把g(x)的图象向左平移 即可。 6分()h(x) = f(x)g(x) = cos(2x + )sin(2x + ) = cos(2x + )sin(2x + )= cos cos(2x + )sin sin(2x + ) = cos (2x + )， 10分当2x + = 2kp，即x = kp ，k Z时，h(x)取
10、得最大值。 12分17、解：设PA = 1.()由题意 PA = BC = 1, AD = 2 2分 PA面ABCD， PB与面ABCD所成的角为PBA = 45 AB = 1，由ABC = BAD = 90，易得CD = AC = 由勾股定理逆定理得 ACCD 3分又 PACD, PAAC = A， CD面PAC, 5分又CD 面PCD， 面PAC面PCD 6分()分别以AB, AD, AP所在直线分别为x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系 P(0, 0, 1), C(1, 1, 0), D(0, 2, 0) 8分ADEPCBzxy设E(0, y, z)，则= (0, y, z1), =
11、(0, 2, 1) 9分 ， y(1)2 (z1) = 0 10分= (0, 2, 0) 是平面PAB的法向量， 11分又 = (1, y1, z)，由CE面PAB， 12分 (1, y1, z)(0, 1, 0) = 0， y = 1，代入得z = 13分 E是PD中点， 存在E点使得CE面PAB 14分18、（）解法一：在2Sn（n2）an1中，令n1，得2 a13 a11，求得a11，令n2，得2（a1a2）4a21，求得a2；令n3，得2（a1a2a3）5 a31，求得a32；令n4，得2（a1a2a3a4）6 a41，求得a4由此猜想：an 4分下面用数学归纳法证明（1）当n1时，a
12、11，命题成立 5分（2）假设当nk (k1)时，命题成立，即ak，且2Sk（k2）ak1，则由2Sk1（k3）ak11及Sk1 Skak1，得（k3）ak112Sk2ak1，即（k3）ak11（k2）ak12ak1则ak1，这说明当nk1时命题也成立 7分 根据（1）、（2）可知，对一切nN*命题均成立 8分解法二：在2Sn（n2）an1中，令n1，求得a11 1分 2Sn（n2）an1， 2Sn1（n1）an11 当n2时，两式相减得：2（SnSn1）（n2）an（n1）an1，即 2 an（n2）an（n1）an1，整理得， 4分 1 6分当n1时， ，满足上式， 7分 . 8分（）由（
13、）知，则2（） 10分 Tn = + + + + = 2（）（）（）（）（） = 2（） 13分 = 14分19、解：（I）设动圆圆心M(x,y)，作MNx轴于N. （1）若两圆外切，|MO|=|MN|+2， =y+2，化简得：x2+y2=y2+4y+4, x2=4(y+1) (y0). 2分 （2）若两圆内切，|MO|=2-|MN|, =2-y，即 x2+y2=y2-4y+4, x2=-4(y-1) (y0). 4分 综上，动圆圆心的轨迹方程是x2=4(y+1) (y0) 及x2=-4(y-1) (y0), 其图象为两条抛物线位于x轴上方的部分，作简图如图所示. 7分（II）假设直线l存在，
14、可设l方程为y=x+b，依题意，它与曲线x2=4(y+1)交于A、D，与曲线x2=-4(y-1)交于B、C, 即 与 ， 9分代入化简得3x2-4x-12b-12=0 3x2+4x+12b-12=0 b，10分 |AD|=|xA-xD|, |BC|=|xB-xC|. 11分 |AD|=2|BC|, |xA-xD|=2|xB-xC|，即()2+ =4()2- ， 12分 解得b = ，将b= 代入方程得：xA=-2, xD = . 13分 因为曲线x2= 4(y+1)中横坐标范围为(-,-2)(2,+)，所以这样的直线l不存在. 14分20、解：（I）令 则 ， 4分 因 故函数上是增函数.又处连续，所以，函数上是增函数.时， 7分（）令 9分当变化时，、的变化关系如下表：1（1，0）0（0，1）1（1，+）0+00+极小值极大值0极小值据此可画出的简图如下， 12分 故存在，使原方程有4个不同实根. 14分