1、东城区普通高中示范校高三综合练习（二）高三数学（理科） 2012.3 命题学校：北京市第十一中学 学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1设全集，则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.B.C.D.2已知直线过定点（-1，1），则“直线的斜率为0”是“直线与圆相切”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
2、D.既不充分也不必要条件3. 已知直线，与平面，下列命题正确的是 （ ）A且，则 B且，则C且，则 D且，则4甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 （ ）A. B. C. D. 5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内的取值范围是 （ ）A.（30，42 B.（42，56 C.（56，72 D.（30，72）6.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （ ）A B. C. D. 4俯视图正视图侧视图443 （第5题图） （第6题图）7. 已知约束条件若目标函数恰好在点(2,
3、2)处取得最大值，则 的取值范围为 ( )A. B. C. D. 8.如图，半径为2的与直线相切于点，射线从出发绕点逆 时针方向旋转到，旋转过程中，交于点，设为，弓 形 的面积为，那么的图象大致是（ ） 4x224SOx224SOx22SOx224SO A B C D第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9. 若复数，则实数的值为 .10.如图，已知是的切线，是切点，直线交于两点，是的中点，连结并延长交于点，若，则= . 11在中,角所对的边分别为，若，则边 . 12.在平面直角坐标系下，已知曲线 （为参数）和曲线若曲线，有公共点，则实数的取值范围为 .13.已知
4、双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是_.14.把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如右图所示的数表，第k行有个数，第k行的第s个数（从左数起）记为，则这个数可记为A( _)三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（本小题满分13分）已知函数 的最小正周期是，（1）求函数的单调递增区间和对称中心；（2）若为锐角的内角，求的取值范围.16（本小题满分13分）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：培训次数123参加人数51520（1）从
5、这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；（2）从40人中任选两名学生，用表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.17（本小题满分13分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，侧面，是等边三角形， ，是线段的中点（1）求证：；（2）求四棱锥的体积；（3）试问线段上是否存在点，使二面角的余弦值 为?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 18.（本小题满分13分）已知函数： , （1） 当时，求的最小值； （2）当时，若存在,使得对任意的恒成立，求的取值范围.19.（本小题满分14分）已知顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴的抛物线上有一
6、点，点到抛物线焦点的距离为1.（1）求该抛物线的方程；（2）设为抛物线上的一个定点，过作抛物线的两条互相垂直的弦, 求证：恒过定点.（3）直线与抛物线交于,两点，在抛物线上是否存在点，使得为以 为斜边的直角三角形.20.（本小题满分14分）直线相交于点.直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，点的横坐标构成数列（1）当时，求点的坐标并猜出点的坐标；（2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（3）比较的大小.东城区普通高中示范校高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准（理科）2012.3一、选择题（本
7、大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B 2.A 3.D 4.A5.B 6.B 7.C 8.D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 10. 11.2 12. 13. 14. A(10,495)三、解答题（本大题共6小题，共80分）15（本小题满分13分）解：（1） 函数的单调增区间为， 7分（2） 所以的取值范围为 13分16. （本小题满分13分）解：（1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为 . 5分(2)由题意知=0,1,2则随机变量的分布列： 0 1 2 13分17（本小题满分13分）证明：（1）因为侧面，平面， 所以 又因为是等边三角形，是线段的
8、中点，所以因为，所以平面 而平面，所以 4分（2）由（1）知平面，所以是四棱锥的高由，可得因为是等边三角形，可求得所以8分（3）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 设,则.设为平面的法向量, .设平面的法向量为.化简得.解得.所以存在点，且 . 13分18.（本小题满分13分）解 ：（1）的定义域为, 当时，为增函数，当时，为减函数，为增函数，当时，为减函数，综上 当 时， 当 时 ， 当时， 6分 (2) 若存在,使得对任意的恒成立，即 当时，由（1）可知，, 为增函数， ,当时为减函数， 13分19. （本小题满分14分）解：（1）由题意可设抛物线的方程为，则由抛物线的定义可得，即，所以抛物线的方程为 . 4分 （2）由题意知直线与轴不平行，设所在直线方程为得 其中 即 所以 所以直线的方程为 即 9分（3）假设（上，的解，消去得 .14分20. （本小题满分14分）解：(1),可猜得.4分 （2）设点的坐标是，由已知条件得点的坐标分别是：由在直线上，得 所以 即 所以数列 是首项为公比为的等比数列.由题设知 从而 9分（3）由得点的坐标为（1，1）.所以 （i）当时，,而此时 （ii）当时，.而此时 14分