1、第24节 平面向量基本定理及坐标表示考纲呈现 1熟悉平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，并理解用坐标表示平面向量共线的条件 3坐标运算可将几何问题转化为代数问题进行求解，并注意在平面几何、解析几何中的应用.诊断型微题组 课前预习诊断双基1平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2
2、，y2)，则 ab，ab，a，|a|.不共线有且只有基底(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x21y21(2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB，|AB|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，a，b 共线.(x2x1，y2y1)x1y2x2y10【知识拓展】1若a与b不共线，ab0，则0.2设a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果x20，y20，则ab x1x2y1y2.1要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐
3、标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标 2向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的 3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.1(2018陕西模拟)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则 向量12a32b()A(2，1)B(2,1)C(1,0)D(1,2)【答案】D【解析】平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量12a32b12(1,1)32(1，1)(1,2)故选D.2已知向量a(1，m)，b(
4、m,2)，若ab，则实数m等于()A 2B 2C 2或 2D0【答案】C【解析】由ab，得12m20，所以m22，即m 2.3(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A(2,2)B(3，1)C(2,2)或(3，1)D(2,2)或(3,1)【答案】D【解析】由题意得P1P 13P1P2 或P1P 23P1P2，P1P2(3，3)设P(x，y)，则P1P(x1，y3)，当P1P 13P1P2 时，(x1，y3)13(3，3)，所以x2，y2时，即P(2,2)当P1P 23P1P2 时，(x1，y3)23
5、(3，3)，所以x3，y1，即P(3,1)，故选D.4(必修4P108A组T7改编)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则mn()A12B12C2D2【答案】A【解析】由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得(2mn)4(3m2n)，所以mn12.故选A.形成型微题组 归纳演绎形成方法 平面向量基本定理的应用1如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2 Be12e2与e12e2 Ce1e2与e1e2 De13e2与6e22e1【答
6、案】D【解析】选项A中，设e1e2e1，则1，10，无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则1，22，无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则1，1，无解；选项D中，e13e2 12(6e22e1)，所以两向量是共线向量，故选D.2(2018 江西南昌一模)如图，已知ABa，ACb，BD 3DC，用 a，b 表示AD，则AD _.【答案】14a34b【解析】AD AB BD AB34BC AB34(AC AB)14AB 34AC14a34b.微技探究 1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 2用平面向量基本定理解决问题的一般思路是
7、：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 1.(2018湖北襄阳模拟)在ABC中，点D在BC边上，且 CD 2DB，CD rABsAC，则rs()A.23B43 C3D0【答案】D【解析】由题意知CD 23CB23(ABAC)23AB23AC，又CD rABsAC，所以r23，s23，所以rs0.故选D.2.(2018南京模拟)如图所示，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点若AM ABAC，则_.【答案】12【解析】由B，H，C三点共线知，BH kBC(k0,1)，则AH ABBH ABkBC ABk(AC AB)(1k)ABkAC
8、.所以AM 12AH 12(1k)ABk2AC.又AM ABAC，所以121k，k2，从而12.平面向量的坐标运算 1(2018北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示若cab(，R)，则()A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】以向量 a，b 的交点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，所以 a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，16，32，解得 2，12，因此，2124.故选 D.2(2018广东六校联考)已知A(3,0)，B(0,2)，点O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2 2，且AOC4
9、，设OC OA OB(R)，则的值为()A1B13 C.12D23【答案】D【解析】过点C作CEx轴于点E.由AOC 4 且|OC|22 知|OE|CE|2，点C的坐标为(2,2)，所以ECOB.所以OC OE OB OA OB，即OE OA，所以(2,0)(3,0)，解得23.微技探究 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 1.(2018山东济南模拟)在平行四边边形ABCD中，AC为一条对角线若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD()A(2，4)B(3，5)C(3,5)D(2,4)
10、【答案】B【解析】由题意得BD AD AB BC AB(AC AB)AB AC2AB(1,3)2(2,4)(3，5)2.(2018山东德州模拟)已知点A(1,5)和向量a(2,3)若AB 3a，则点B的坐标为()A(7,4)B(7,14)C(5,4)D(5,14)【答案】D【解析】设点B的坐标为(x，y)，则AB(x1，y5)由AB3a，得x16，y59，解得x5，y14.故点B的坐标为(5,14)平面向量共线的坐标表示 1已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_【答案】(3,3)【解析】由O，P，B三点，共线，可设OP mOB(4m,4m)，APOP O
11、A(4m4,4m)又因为ACOC OA(2,6)，由AP与AC共线，可得(4m4)64m(2)0，解得m34，OP(3,3)，点P的坐标为(3,3)2(2018郑州模拟)已知向量a(1sin，1)，b12，1sin .若ab，则锐角_.【答案】45【解析】由ab，得(1sin)(1sin)12，所以cos212，cos 22 或 22.又为锐角，所以45.微技探究 1两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，则ba.2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数当两向量的坐标均非
12、零时，也可以利用坐标对应成比例来求解 1.(2018沈阳模拟)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A.14B12 C1D2【答案】B【解析】ab(1,2)(1,0)(1，2)，c(3,4)，由(ab)c得4(1)6，12.2.(2018贵州遵义模拟)已知A(2,3)，B(4，3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|32|BP|，则点P的坐标为_【答案】(8，15)【解析】设点P的坐标为(x，y)，点P在线段AB的延长线上，所以AP32BP，则(x2，y3)32(x4，y3)，即x232x4，y332y3，解得x8，y15.所以点P的坐标为(8，15).
13、目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2015全国，2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量 AC(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)【答案】A【解析】设点C的坐标为(x，y)，点A的坐标为(0,1)，AC(4，3)，x4，y13，解得x4，y2，点C的坐标为(4，2)又点B的坐标为(3,2)，BC(7，4)故选A.2(2018全国，13)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.【答案】12【解析】2ab(4,2)，因为c(2ab)，所以42，得12.3(2016全国，13)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.【答案】2【解析】由|ab|2|a|2|b|2得ab，则m20，所以m2.4(2015北京，13)在ABC中，点M，N满足AM 2MC，BN NC.若MN xAByAC，则x_；y_.【答案】12 16【解析】由题中条件得MN MC CN 13AC12CB 13AC12(ABAC)12AB16ACxAByAC，所以x12，y16.
