1、江苏省南京市第五高级中学2020至2021学年高一年级第一学期12月质量监测数学一、单选题1已知是第一象限角，那么是（）A第一象限角B第二象限角C第一或第二象限角D第一或第三象限角2已知，则ABCD3角的终边上一点，则（ ）ABCD4大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为时，则它的耗氧量的单位数为（ ）ABCD5已知，则等于( )ABCD6若为第四象限角，则可化简为（ ）ABCD7若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）ABCD8现有四个函数：；的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的
2、函数序号安排正确的一组是（ ） ABCD二、多选题9已知，则函数的值可能为（ ）A3B-3C1D-110已知，则下列结论正确的是（ ）ABCD11下列命题是真命题的是（ ）A若幂函数过点，则B，C，D命题“，”的否定是“，”12已知函数则以下结论正确的是（ ）AB方程有三个实根C当时，D若函数在上有8个零点，则的取值范围为三、填空题13若，则_.14若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_.15若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_.四、双空题16已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是_,的最大值是_.五、解答题17在平面直角坐标系中,已知角的终边与以原点为
3、圆心的单位圆交于点.(1)请写出,的值;(2)若角满足.()计算的值;()计算的值.18已知全集为，集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件（充分必要性）.；.191766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号（x）1（金星）2（地球）3（火星）4（ ）5（木星）6（土星）离太阳的距离
4、（y）0.71.01.65.210.0受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星.（1）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；.（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.20已知，二次函数的图象经过点，且的解集为.（1）求实数a，b的值；（2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围.21已知函数(,且),且.(1)求实数
5、的值;(2)判断函数的奇偶性并证明(3)若函数有零点,求实数的取值范围.22知函数,.(1)求方程的解集;(2)若的定义域是,求函数的最值;(3)若不等式对于恒成立,求的取值范围.江苏省南京市第五高级中学2020至2021学年高一年级第一学期12月质量监测数学一、单选题1已知是第一象限角，那么是（）A第一象限角B第二象限角C第一或第二象限角D第一或第三象限角【答案】D【分析】根据象限角写出的取值范围，讨论即可知在第一或第三象限角【详解】依题意得，则，当 时，是第一象限角当 时，是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题2已知，则ABCD【答案】B【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【
6、详解】则故选B【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题3角的终边上一点，则（ ）ABCD【答案】A【分析】首先利用三角函数的定义求出，再利用诱导公式即可求解.【详解】根据题意可得，故选：A【点睛】本题考查了三角函数的定义以及诱导公式，需熟记公式，属于基础题.4大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为时，则它的耗氧量的单位数为（ ）ABCD【答案】C【分析】将代入式子，利用指数式与对数式的互化即可求解.【详解】由，当时，则，即，解得，
7、所以.故选：C【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题.5已知，则等于( )ABCD【答案】C【分析】由诱导公式化简后即可求值【详解】-sin故选C【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题6若为第四象限角，则可化简为（ ）ABCD【答案】D【分析】利用同角三角函数的平方关系化简即可.【详解】为第四象限角，则，且，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用同角三角函数的平方关系化简，在去绝对值时，要考查代数式的符号，考查计算能力，属于中等题.7若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】要求函数的最大值，可先分别探究函数与的单调性，从而得到的最大值
8、【详解】易知在上单调递增，上单调递增.因为，所以的取值范围为.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.8现有四个函数：；的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） ABCD【答案】A【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到【详解】解：为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，在上的值为负数，故第三个图象满足；为奇函数，当时，故第四个图象满足；，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇
9、偶性、函数的值的符号，属于中档题二、多选题9已知，则函数的值可能为（ ）A3B-3C1D-1【答案】BC【分析】讨论在第一象限；在第二象限；在第三象限；在第四象限；四种情况分别化简得到答案.【详解】，当在第一象限时：；当在第二象限时：当在第三象限时：当在第四象限时：故选：【点睛】本题考查了三角函数值化简，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.10已知，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】ABD【分析】对两边平方，利用同角关系化简可得，在根据范围，确定，；根据，求出的值，将其与联立，求出，再根据三角函数同角的基本关系，结合各选项，即可得到结果.【详解】，即，加得减得综上可得，正确的有ABD
10、.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数同角的基本关系的应用，考查学生的分析能力和计算能力，属于基础题.11下列命题是真命题的是（ ）A若幂函数过点，则B，C，D命题“，”的否定是“，”【答案】BD【分析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示由图可知，故正确；对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示由图可知，当时，当时，当时，故错误；对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，”，故正确；故选：【点睛】本题考查指数函数对
11、数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.12已知函数则以下结论正确的是（ ）AB方程有三个实根C当时，D若函数在上有8个零点，则的取值范围为【答案】ACD【分析】根据函数性质以及数形结合逐个判断即可.【详解】对A, .故A正确.对B,画出图像有故有四个根.故B错误.对C, 当时,.故C正确.对D,画出图像,有8个零点,即与有8个交点.此时.又.故.即的取值范围为.故D正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查了函数图像零点的综合运用,需要根据题题意画出图像,再分析函数图像的交点等.属于难题.三、填空题13若，则_.【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系，将分子、分母同
12、除即可求解.【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了齐次式，属于基础题.14若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】由不等式恒成立可得函数的图象始终在轴下方，从而得出结论【详解】解：不等式对任意恒成立，函数的图象始终在轴下方，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，通常转化为最值问题，本题借助三个二次（二次函数、一元二次不等式、一元二次方程）之间的关系解题，考查数形结合，属于基础题15若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_.【答案】.【分析】由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得关于的不等式，解不等式
13、即可.【详解】解：当且仅当，即且时取等号.恒成立，则解得即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.四、双空题16已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是_,的最大值是_.【答案】1 4 【分析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.【详解】画出的图像有：因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图, 故的取值范围是,故的最小值是1.又由图可知,故,故.故.又当时, .当时, ,故.又在时为减函数,故当时取最大值.故答案为：(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了
14、数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.五、解答题17在平面直角坐标系中,已知角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点.(1)请写出,的值;(2)若角满足.()计算的值;()计算的值.【答案】(1),.(2)() () 【分析】(1)根据三角函数的定义直接写出即可.(2)i.根据两角和的余弦公式以及同角三角函数的关系求解即可.ii.根据与同角三角函数的关系求解,再根据二倍角公式代入求解即可.【详解】(1)由三角函数定义可知:,.(2)()由题意可知:,所以,()由,可知或原式【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及同角三角函数的关系式以
15、及三角恒等变换公式计算等.属于中档题.18已知全集为，集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件（充分必要性）.；.【答案】（1）（2）选择，则结论是不充分不必要条件；选择，则结论是必要不充分条件；选择，则结论是是充分不必要条件.【分析】（1）解出集合，根据补集的定义求出，由，得到关于的不等式，解得；（2）由（1）知的充要条件为，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】解：（1）集合，所以，集合，若，且，只需，所以.（2）由（1）可知的充要条件是，选择，且，则结论是不充分不必要条件；选择，则结论是必要不充分条件；选择，则结论是充分不必要条件.【
16、点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，以及充分条件必要条件的判断，属于基础题.191766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号（x）1（金星）2（地球）3（火星）4（ ）5（木星）6（土星）离太阳的距离（y）0.71.01.65.210.0受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星.（1
17、）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；.（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.【答案】（1）模型符合题意（2）见解析（3）【分析】（1）画出散点图，根据图形得到答案.（2）将分别代入得到解析式，再验证得到答案.（3）取，代入计算得到答案.【详解】（1）散点图如图所示：根据散点图可知，模型符合题意（2）将分别代入得，解得，所以 当时，.当时，.与已知表中数据完全吻合
18、. （3）当时，即谷神星距太阳的距离为【点睛】本题考查了散点图，函数解析式，意在考查学生的应用能力和计算能力.20已知，二次函数的图象经过点，且的解集为.（1）求实数a，b的值；（2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围.【答案】（1），（2）【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得.（2）由（1）知，得方程等价于方程，令，即的两个零点满足分析可得.【详解】解：（1）因为的图象经过点，所以，所以，的解集为，所以，且，且，得，故，（2）由，得方程等价于方程，令，即的两个零点满足，所以必有，即，解得，所以实数k的取值范围是【点睛】本题考查一元二次方程，二次函
19、数以及一元二次不等式的关系，二次函数的零点问题，属于中档题.21已知函数(,且),且.(1)求实数的值;(2)判断函数的奇偶性并证明(3)若函数有零点,求实数的取值范围.【答案】(1)2(2)奇函数.见解析 (3)或.【分析】(1)代入求解即可.(2)由(1)化简可得,再分析与的关系判定即可.(3)分析可知有实根,再换元令,分析,的取值范围进而求得的取值范围即可.【详解】(1)因为解得(2)是奇函数.由得:故,所以是奇函数(3)方法一:代入可得因为有零点,所以有实根.显然不是的实根,所以有实根.设,.因为.当时,所以,所以当时,所以综上,的值域为所以,当时,有实根,即有零点方法二:代入可得因为
20、有零点,所以有实根.所以有实根.显然,时上式不成立,所以有实根因为,所以所以或.所以,当时,有实根.即有零点【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解以及根据函数的零点个数求解参数的方法,需要根据题意参变分离,分析构造的函数的值域进而求得参数的范围.属于中档题.22知函数,.(1)求方程的解集;(2)若的定义域是,求函数的最值;(3)若不等式对于恒成立,求的取值范围.【答案】（1） （2）， （3）【分析】（1）将表达式代入中求解方程的解.（2）写出表达式后化简求值域.（3）先将不等式进行换元处理后，分离参数求解的取值范围.【详解】（1）因为，即即或，所以或,方程的解集为.（2）因为的定义域是,，所以所以又设则所以，即所以（3）设所以不等式对于恒成立等价于不等式对于恒成立即在恒成立第一种情况：当时，即，满足条件.第二种情况：当时，即，所以舍去，即满足条件.第三种情况：当时，即或者时 i，解得： ii解得：无解.综上所述： .【点睛】此题考查换元思想和含参讨论二次函数在定区间恒成立问题，难点是分类讨论时的依据，属于较难题目.
