1、第21节 正弦定理和余弦定理考纲呈现 1熟练掌握正弦定理及余弦定理，并能解决简单的三角形度量问题 2能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.诊断型微题组 课前预习诊断双基1正、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC外接圆半径，则 2.在ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式(1)S12ah(h 表示边 a 上的高)(2)S12bcsin A.(3)S12r(abc)(r 为三角形的内切圆半径)4在ABC 中，常有的结论(1)ABC.(2)大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，
2、任意两边之差小于第三边 12acsinB12absinC 1由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断 2在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 3利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制 1(2018山东潍坊模拟)在ABC中，sin Asin B是ABC为等腰三角形的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当sin Asin B时，则有AB，则ABC为等腰三角形，故sin Asin B是ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当ABC为等腰三角形时，不一
3、定是AB，若是AC60时，则sin Asin B，故sin Asin B是ABC为等腰三角形的不必要条件故选A.2(2018湖南长沙校级模拟)在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A3，a 3，b2.则B()A.6B4C3D2【答案】D【解析】在ABC中，由正弦定理可得 asin A bsin B，sin Bbsin Aa2sin 33 1.又B(0，)，B2.故选D.3(必修5P10A组T4改编)在ABC中，AB5,AC3,BC7,则BAC()A.6B3C23D56 【答案】C【解析】因为在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cosBACb2c2a2
4、2bc925493012，因为BAC为ABC的内角，所以BAC23.故选C.4(必修5P20A组T11改编)在ABC中，A 3，AB2，且ABC的面积为 32，则边BC的长为_【答案】3【解析】因为S12ABACsin A122ACsin3 32，所以AC1.由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos A，即BC2221222112，解得BC 3.形成型微题组 归纳演绎形成方法 利用正、余弦定理解三角形 1(2018长沙模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a 13，b3，A60，则边c()A1 B2C4 D6【答案】C【解析】a2c2b22cbcos A13c292
5、c3cos 60，即c23c40，解得c4或c1(舍去)2(2018合肥模拟)在ABC中，AB2，AC3，B60，则cos C_.【答案】63【解析】由正弦定理 ABsin C ACsin B，得 2sin C3sin 60，解得sin C 33.ABAC，CB，cos C 1sin2C 63.微技探究 1解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 2三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常
6、根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 1.(2018武汉模拟)在ABC中，C60，AB 3，BC 2，那么A()A135B105C45D75【答案】C【解析】由正弦定理知 BCsin A ABsin C，即2sin A3sin 60，所以sin A 22，又由题知，BC0，sin A1，即A2.故ABC为直角三角形 2(2018临沂模拟)如图，在ABC中，B45，D是BC边上的点，AD5，AC7，DC3，则AB的长为_【答案】5 62 【解析】在ADC 中，AD5，AC7，DC3，由余弦定理得 cosADCAD2DC2AC22ADDC12，所以ADC120，ADB60.在ABD 中，
7、AD5，B45，ADB60，由正弦定理得ABsinADB ADsin B，所以 AB5 62.微技探究 1判断三角形形状的方法(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论 2求解几何计算问题要注意：(1)根据已知的边角画出图形并在图中标示；(2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 1.(2018浙江金丽衢十二校联考)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 cos Acos B ba 2，则该三角形的形状是()A直角三角形B等腰三角形 C等边三角形D钝角三角形【答案】A【解析】因为cos Aco
8、s Bba，由正弦定理得cos Acos Bsin Bsin A，所以sin 2Asin 2B.由ba 2，可知ab，所以AB.又A，B(0，)，所以2A1802B，即AB90，所以C90，于是ABC是直角三角形故选A.2.(2018吉林三校联考)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_【答案】(6 2，6 2)【解析】如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，BF 2222222cos 30 6 2.在等腰三角形ECB中，CEB30，EC
9、B75，BECE，BC2，BEsin 752sin 30，BE212 6 24 6 2.6 2AB 6 2.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018全国，6)在ABC中，cosC2 55，BC1，AC5，则AB()A4 2B 30C 29D2 5【答案】A【解析】cosC2 55，cos C2cos2C212552135.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225135 32，AB 324 2.故选A.2(2018全国，9)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为a2b2c24，则C()A.2B3C4D6【答案】C【解析】S12absin
10、 Ca2b2c242abcos C412abcos C，sin Ccos C，即tan C1.C(0，)，C4.故选C.3(2017山东，9)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是()Aa2bBb2a CA2BDB2A【答案】A【解析】因为sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B，即cos C(2si
11、n Bsin A)0，所以cos C0或2sin Bsin A，即C90或2ba，又ABC为锐角三角形，所以0C90，故2ba.故选A.4(2017浙江，14)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.【答案】152 104 【解析】ABAC4，BC2，cosABCAB2BC2AC22ABBC14，ABC为三角形的内角，sinABC154，sinCBD154，故SCBD1222 154 152.BDBC2，ABC2BDC.又cosABC14，2cos2BDC114，得cos2BDC58，又BDC为锐角，cosBDC 104.5(2018浙江，13)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a 7，b2，A60，则sin B_，c_.【答案】217 3【解析】如图，由正弦定理 asin A bsin B，得 sin Bbasin A 27 32 217.由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 74c24ccos 60，即 c22c30，解得 c3 或 c1(舍去)