1、高二数学上学期考试本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分.考试用时120分钟.第卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若，则下列不等式成立的是().A. B. C. D. 【答案】B【解析】abc，acbc0，故选B2.等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的是().A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，所以是定值，是定值考点：等差数列通项公式求和公式及性质点评：本题用到的知识点，性质：若则，此性质在数列题目中应用广泛3.已知数列中
2、，=2，1，若为等差数列，则等于（ ）.A. 1 B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由为等差数列，结合求出数列的公差，再由等差数列的通项公式，求出，即可得到答案【详解】由数列为等差数列，则公差，所以，所以，故选C【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中熟记等差数列的概念和通项公式的灵活应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.在等差数列等于( ).A. 13 B. 18 C. 20 D. 22【答案】A【解析】【分析】由已知的第2个等式减去第1个等式，利用等差数列的性质得到差为公差的3倍，且求出得值，然后再由所求得式子减去第2个等式，利用等差数列的性质
3、，也得到其公差为，把的值代入即可求得答案【详解】设等差数列的公差为，由，则，即，又由，所以，故选A【点睛】本题主要考查了等差的性质的综合应用，是一道基础题，其中熟记等差数列的性质，通过两式相减求得得值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力5.若关于的不等式的解集是，则实数的值是( ).A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用关于的不等式的解集，可得方程的两根为，利用韦达定理，即可求解【详解】由题意，关于的不等式的解集为，所以方程的两根为，由韦达定理可得，解得，故选D【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式和一元二次方程，以及一元二次函
4、数之间的关系的相互转化是解答的关键，着重考查了推理与计算能力6.各项都是实数的等比数列，前项和记为，若,则等于（ ）A. 150 B. C. 150或 D. 400或【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的前项和的公式化简，分别得到关于的两个关系式，求得公比的值，然后利用等比数列的前项和公式代入的值，即可求解【详解】根据等比数列的前项和的公式化简得：，所以，得到，即，解得（舍去），则，所以，故选A【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前项和公式的应用，其中解答中熟练应用等比数列的通项公式和前项和公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力7.不等式 对于一切恒成立，那么的取值
5、范围().A. (，3) B. (1，3 C. (，3 D. (3，3)【答案】B【解析】【分析】当时不等式即为，对一切恒成立，当时，利用二次函数的性质列出满足的条件，结合两种情况，即可得到答案【详解】当时不等式即为，对一切恒成立，当时，则须，解得，所以，综上所述，实数的取值范围是，故选B【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用一元二次函数的图象与性质，注意对二次项系数的分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题8.数列前项的和为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把数列分成一个等差数列和一个等比数列，然后根据等差数列和等
6、比数列的前项和公式，即可求解【详解】由题意，数列的通项公式为，所以该数列的前项和为，故选A【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前项和公式的应用，其中把数列分为一个等差数列和一个等比数列，分别利用等差数列和等比数列的前项和公式求和是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力9.等差数列,的前项和分别为,若,则=( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，而 ，故选B.10.已知为等差数列，若且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由于前项和有最大值，所以，根据，有，所以，结合选项可知，选C.考点：等差数列的基本性质.1
7、1.已知数列的前项和为159131721，则的值是().A. 13 B. 76 C. 46 D. 76【答案】B【解析】【分析】由已知可得，求得 ，即可得到答案【详解】由题意，所以 ，所以，故选B【点睛】本题主要考查了数列的前项和的应用，其中解答中认真审题，主要数列前项和公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题12.设等差数列的前项和为,若则等于( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】试题分析：所以公差 得所以解得，故选C考点：等差数列的性质及其前项和【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系，考查学生的计算能力属中
8、档题 二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13.设是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是_【答案】 【解析】设等差数列的公差为 前三项的积为48即 解得 数列 是单调递增的等差数列， 故答案为214.如果数列的前n项和，则此数列的通项公式_.【答案】2n1【解析】【分析】利用数列中和的关系，计算可得数列构成以为首项，2为公比的等比数列，进而计算可得结论【详解】当时，整理得，又由当时，即，所以数列构成首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，其中解答中熟记数列中和的关系是解答本题的关键，平时
9、注意解题方法的积累与总结，着重考查了推理与运算能力15.若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：不等式变形为，不等式有解，所以解不等式得实数的取值范围是考点：三个二次关系16.若数列满足(k为常数)，则称为等比差数列，叫做公比差.已知是以2为公比差的等比差数列，其中,则_.【答案】384【解析】【分析】由题意，令，分别求出的值，即可得到答案【详解】由数列满足，且，令，得，所以，又由，所以，又由，所以【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中正确理解数列的递推关系式，分别代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题三、解答题：本大题
10、共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知,都是正数，并且.求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】要证，只需要证明即可【详解】证明：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0
11、即：a5 + b5 a2b3 + a3b2.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，用综合法证明，属于基础题。18.数列中， ，当时，其前项和满足 （1）求的表达式； (2)设 ,求数列的前项和【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）运用数列的递推公式，代入化简整理，再由等差数列的定义和通项公式，即可求解；（2）求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质，即可求解【详解】（1） 得 , (2) .【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的裂项法求和，其中解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几
12、何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等19.已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1），结合图像可得不等式解集（2），所以根据根的大小进行分类讨论：时，为；，为；时，为试题解析：（1）当时，不等式，即，解得故原不等式的解集为（2）因为不等式，当时，有，所以原不等式的解集为；当时，有，所以原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为20.某商店采用分期付款的方式促销一款价格为每台6000元的电脑商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算
13、欠款的利息(1)已知欠款的月利率为0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？(2)假设货主每月还商店元，写出在第 (1,2，36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式【答案】（1）4020元；（2）第i个月底还款后的欠款数为。【解析】【分析】（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款计4000元，又按月利率0.5%，即可求得第一个月底的欠款额；（2）由题意，分别得到第 的欠款额，利用等比数列的求和公式，即可得到第个月的欠款的关系式【详解】(1)因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即60004000(元)，又月利率为0.5%，到第一个月底的欠款数应为4000(10.5%)4020
14、(元) (2)设第i个月底还款后的欠款数为yi，则有y14000(10.5%)a， y2y1(10.5%)a4000(10.5%)2a(10.5%)a， y3y2(10.5%)a4000(10.5%)3a(10.5%)2a(10.5%)a， yiyi1(10.5%)a4000(10.5%)ia(10.5%)i1a(10.5%)i2a， 由等比数列的求和公式，得 (i1,2，36) 答: 到第一个月底的欠款数应为4020元,第i个月底还款后的欠款数为【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，同时考查了函数与方程思想，其中解答中认真审题，合理转化与化归，列出关系式是解答的关键，着重考查了分析问
15、题和解答问题的能力21.已知等比数列的公比为，与数列满足 （）（1）证明数列为等差数列；（2）若，且数列的前3项和，求的通项，（3）在(2)的条件下，求.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）。【解析】【分析】(1)证明：设的公比为 由，得到，利用等差数列的定义，可得到结论； (2) 由题意，根据等差的通项公式和前项和公式，列出方程组，求得，即可得到数列的通项公式；(3)由，求得数列的前8项均为正，从第9项开始为负，分类讨论即可求解【详解】(1)证明：设的公比为 （） （） （与无关的常数）数列为等差数列，公差为. (2)解: 即，解得 (3)由得，可得的前8项均为正，从第9项开始为负 当时
16、， 9分当时, 综上所述： 【点睛】本题主要考查了等差数列的判定与证明，以及等差数列的通项公式和前项和公式的应用，其中解答第三问时，根据数列的通项公式，得到前8项均为正，从第9项开始为负，分类讨论即可求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和推理与运算能力22.已知数列满足 ，且，求数列的前三项，；数列为等差数列，求实数的值；求数列的前项和【答案】（1），；（2）；（3）。【解析】【分析】（1）利用已知条件，直接求得的值，然后求出的值；（2）通过数列为等差数列，按照等差数列的定义，公差是常数，可求得的值；（3）利用（2），求出通项公式，然后通过乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和【详解】由 ，且得 ，得同理，得，对于，且， 又数列为等差数列， 是与无关的常数， ，解得 由知，等差数列的公差为1， ，得 ， 记，则有，两式相减，得 故【点睛】点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等