1、北京市东城区普通校2014届高三3月联考（零模）数学（理科） 本试卷共150分，考试用长120分钟。第一部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 设集合,集合,则 A. B. C. D.2. 函数与在同一直角坐标系中的图象是 A B C D3. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象A. 关于点对称 B. 关于直线对称C. 关于点对称 D. 关于直线对称4. 若双曲线的离心率是，则实数的值是A. B. C. D. 5. 某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为 A. B. C. D. 6. 设，函数的导函数是，若是
2、偶函数，则曲线在原点处的切线方程为 A. B. C. D. 7. 如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为A. B. C. D. 8. 从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点，能构成三棱锥的个数设为；过三棱柱任意两个顶点的直线(15条)中，其中能构成异面直线有对，则的取值分别为A. 15，45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48第二部分二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分,把答案填在题中横线上。9. 在的二项展开式中，的系数为 。10在中，角，的对边分别为，角，成等差数列， 则=_；若同时边，成等比数列，则=_。11.若实数满
3、足 ,则的取值范围是 。 12已知圆（为参数）与直线， 则直线截圆所得的弦长为 。13. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为主视图，侧视图，俯视图，则此几何体的表面积为 。14. 关于曲线，给出下列说法：关于坐标轴对称； 关于点对称；关于直线对称； 是封闭图形，面积大于.则其中正确说法的序号是 .（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（本题满分13分）已知.()求的值；（）求函数的单调递增区间.16.（本题满分13分） 一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为.() 若从
4、袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，求恰有两次编号为3的倍数的概率； （）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列和的数学期望.17.（本题满分14分）如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.()若点是棱的中点，求证:平面；（）求二面角的余弦值；（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.18.（本题满分13分）已知函数.()当 时，求的单调区间； ()求在区间上的最大值.19.（本题满分13分）已知直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切.（）求直线在轴上截距的取值范围；（）设是抛物线的焦点，且，求直线的方程.20.（本题满
5、分14分）在数列和中，其中且，.（）若，求数列的前项和；（）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；（）设，设.当时，求出相应的集合. 北京市东城区普通校2014届高三3月联考（零模）数学理参考答案一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ABBDCA BC二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上.（若有两空，第一空3分；第14题多选、错选得0分，少选得3分）9. -40 10. ； 11. 12. 13. 14. 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,
6、证明过程或演算步骤.15. 解：（1）因为，所以，（2分）因为，所以， （4分）=（6分）=（7分）（2）（8分）=（10分）令，解得， （12分）所以单调递增区间为.（13分）16. 解：（I）从袋中随机抽取1个球，其编号为3的倍数的概率（2分）有放回的抽取3次，恰有2次编号为3的倍数的概率为 （6分）（II）随机变量所有可能的取值为. （7分）， ，所以，随机变量的分布列为: （11分） （13分）17. 解：（）因为点是菱形的对角线的交点,所以是的中点.又点是棱的中点,所以 . （2分）因为平面,平面,所以平面. （4分）（）由题意,因为,所以,. （5分）又因为菱形,所以,.建立空间直
7、角坐标系,如图所示.所以（6分）设平面的法向量为,则有即：令,则,所以.（8分）因为,所以平面.平面的法向量与平行,所以平面的法向量为.（9分）,因为二面角是锐角,所以二面角的余弦值为.（10分）（）解：因为是线段上一个动点,设,则,所以,、则,由得,即,（12分）解得或, （13分）（所以点是线段的三等分点,或）（14分）18. 解：（） , （2分）在区间上,；在区间上,故的单调递增区间是,单调递减区间是. （5分）（） . （7分）当时,由（）知在上单调递增,故在上（9分） 当时, 在区间上,；故在上单调递增故在上（11分）当时,在区间上,；在区间上,在上单调递增,在上单调递减, （9分
8、）故在上.（13分）19. 解： （）解：设直线的方程为.由直线与圆相切， 得 ，化简得. （2分）直线的方程代入，消去，得 .（*） （3分）由直线与抛物线相交于，两点，得，即 .将代入上式，得.解得，或.（5分）注意到，从而有 ，或. （6分）（）解：设，.由（*）得，. 所以 . 将，代入上式，得. （10分）将，代入上式，令，得.所以 ，即 . 解得 ， (舍去). 故 . 所以直线的方程为，或. （13分） 20. 解：（）因为,所以, （1分）由,得,所以, （3分）因为且,所以, （4分）所以 ,是等差数列,所以数列的前项和.（5分）（）由已知,假设,成等比数列,其中,且彼此不等, 则,（6分）所以,所以,（8分）可得,与矛盾；假设不成立.所以数列中的任意三项都不能构成等比数列. （9分） （）当时,设,则,且,设,则,所以,（10分）因为,且,所以能被整除. （1）当时, ；（11分）（2）当时,所以能被整除. （12分）（3）当时,所以不能被整除. （13分）综上, 时,；（14分）