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北京市东城区普通校2014届高三3月联考数学理试题 WORD版含答案.doc

1、北京市东城区普通校2014届高三3月联考(零模)数学(理科) 本试卷共150分,考试用长120分钟。第一部分一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 设集合,集合,则 A. B. C. D.2. 函数与在同一直角坐标系中的图象是 A B C D3. 已知函数的最小正周期为,则该函数的图象A. 关于点对称 B. 关于直线对称C. 关于点对称 D. 关于直线对称4. 若双曲线的离心率是,则实数的值是A. B. C. D. 5. 某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为 A. B. C. D. 6. 设,函数的导函数是,若是

2、偶函数,则曲线在原点处的切线方程为 A. B. C. D. 7. 如图所示,在边长为1的正方形中任取一点,则点恰好取自阴影部分的概率为A. B. C. D. 8. 从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点,能构成三棱锥的个数设为;过三棱柱任意两个顶点的直线(15条)中,其中能构成异面直线有对,则的取值分别为A. 15,45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48第二部分二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上。9. 在的二项展开式中,的系数为 。10在中,角,的对边分别为,角,成等差数列, 则=_;若同时边,成等比数列,则=_。11.若实数满

3、足 ,则的取值范围是 。 12已知圆(为参数)与直线, 则直线截圆所得的弦长为 。13. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,依次为主视图,侧视图,俯视图,则此几何体的表面积为 。14. 关于曲线,给出下列说法:关于坐标轴对称; 关于点对称;关于直线对称; 是封闭图形,面积大于.则其中正确说法的序号是 .(注:把你认为正确的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15(本题满分13分)已知.()求的值;()求函数的单调递增区间.16.(本题满分13分) 一个袋中装有个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为.() 若从

4、袋中每次随机抽取1个球,有放回的抽取3次,求恰有两次编号为3的倍数的概率; ()若一次从袋中随机抽取个球,记球的最大编号为,求随机变量的分布列和的数学期望.17.(本题满分14分)如图,已知菱形的边长为,,.将菱形沿对角线折起,使,得到三棱锥.()若点是棱的中点,求证:平面;()求二面角的余弦值;()设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得,并证明你的结论.18.(本题满分13分)已知函数.()当 时,求的单调区间; ()求在区间上的最大值.19.(本题满分13分)已知直线与抛物线相交于,两点,且与圆相切.()求直线在轴上截距的取值范围;()设是抛物线的焦点,且,求直线的方程.20.(本题满

5、分14分)在数列和中,其中且,.()若,求数列的前项和;()证明:当时,数列中的任意三项都不能构成等比数列;()设,设.当时,求出相应的集合. 北京市东城区普通校2014届高三3月联考(零模)数学理参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ABBDCA BC二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上.(若有两空,第一空3分;第14题多选、错选得0分,少选得3分)9. -40 10. ; 11. 12. 13. 14. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,

6、证明过程或演算步骤.15. 解:(1)因为,所以,(2分)因为,所以, (4分)=(6分)=(7分)(2)(8分)=(10分)令,解得, (12分)所以单调递增区间为.(13分)16. 解:(I)从袋中随机抽取1个球,其编号为3的倍数的概率(2分)有放回的抽取3次,恰有2次编号为3的倍数的概率为 (6分)(II)随机变量所有可能的取值为. (7分), ,所以,随机变量的分布列为: (11分) (13分)17. 解:()因为点是菱形的对角线的交点,所以是的中点.又点是棱的中点,所以 . (2分)因为平面,平面,所以平面. (4分)()由题意,因为,所以,. (5分)又因为菱形,所以,.建立空间直

7、角坐标系,如图所示.所以(6分)设平面的法向量为,则有即:令,则,所以.(8分)因为,所以平面.平面的法向量与平行,所以平面的法向量为.(9分),因为二面角是锐角,所以二面角的余弦值为.(10分)()解:因为是线段上一个动点,设,则,所以,、则,由得,即,(12分)解得或, (13分)(所以点是线段的三等分点,或)(14分)18. 解:() , (2分)在区间上,;在区间上,故的单调递增区间是,单调递减区间是. (5分)() . (7分)当时,由()知在上单调递增,故在上(9分) 当时, 在区间上,;故在上单调递增故在上(11分)当时,在区间上,;在区间上,在上单调递增,在上单调递减, (9分

8、)故在上.(13分)19. 解: ()解:设直线的方程为.由直线与圆相切, 得 ,化简得. (2分)直线的方程代入,消去,得 .(*) (3分)由直线与抛物线相交于,两点,得,即 .将代入上式,得.解得,或.(5分)注意到,从而有 ,或. (6分)()解:设,.由(*)得,. 所以 . 将,代入上式,得. (10分)将,代入上式,令,得.所以 ,即 . 解得 , (舍去). 故 . 所以直线的方程为,或. (13分) 20. 解:()因为,所以, (1分)由,得,所以, (3分)因为且,所以, (4分)所以 ,是等差数列,所以数列的前项和.(5分)()由已知,假设,成等比数列,其中,且彼此不等, 则,(6分)所以,所以,(8分)可得,与矛盾;假设不成立.所以数列中的任意三项都不能构成等比数列. (9分) ()当时,设,则,且,设,则,所以,(10分)因为,且,所以能被整除. (1)当时, ;(11分)(2)当时,所以能被整除. (12分)(3)当时,所以不能被整除. (13分)综上, 时,;(14分)

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