1、2020届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试理科数学注意事项：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答题时，考生务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，答题时间120分钟.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）A
2、. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：由得，所以复数在复平面内对应的点在第一象限，故选A.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.2.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合A,B，根据并集的定义运算即可.【详解】由条件得，所以，即：.故选：D【点睛】本题主要考査了集合之间的基本运算，不等式的解法，解题关键在于正确求解不等式，并用数轴表示集合之间的关系，属于容易题.3.在同一直角坐标系中，函数且图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数
3、、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.4.设，且是第二象限的角，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由二倍角公式可得，根据同角三角函数关系求出，再利用正切函数的二倍角公式即可.【详解
4、】由得，因为是第二象限的角，所以，所以，所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式、特殊角的三角函数值，属于中档题.5.函数和的图像在上交点的个数为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】函数图象交点的个数可转化为方程根的个数，解方程即可求解.【详解】由得，所以，亦即或，当时，的值在内可以为，0，当时，的值在内可以为，0，所以在的根为，0，或，故选:B【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形、三角函数求值,考查了转化思想，属于中档题.6.已知函数满足，则等于（ ）A. 0B. 2C. 8D. 不确定【答案】C【解析】【分析】根据条件可知函数关于对称，
5、根据对称性可知，利用定积分性质即可求解.【详解】由得关于对称.所以，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了函数的对称性、定积分的几何意义,定积分的运算性质，属于中档题.7.已知等比数列满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据数列为等比数列可得，可证明是以为首项，为公比的新等比数列，根据等比数列前n项和计算即可.【详解】，整理得及解得或-3（舍）,对于，设，则，其本质是以为首项，为公比的新等比数列的前项和,故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式与前项和公式，考查了等比数列基本量的运算，属于中档题.8.已知，若在区间上单调时，的取值集合为，对不等式恒成立时，的
6、取值集合为，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简函数，由题意知，从而可知，由不等式恒成立，分离参数可知恒成立，可求出，由充分条件、必要条件定义即可判断“”是“”的充分非必要条件.【详解】，可知函数周期，由题可知函数在区间，故该区间长度需小于等于半个周期，及，对于不等式，；设，；不等式等价于恒成立，及，对于，及集合，“”是“”的充分非必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数单调区间求解，不等式恒成立问题，基本不等式、充分必要条件的判断,属于难题.9.在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动
7、点，且，则的最小值为（ ）A. -2B. 0C. -3D. -4【答案】C【解析】【分析】设点，点，,可得，利用二次函数求最值即可.【详解】设点，点，则，；当时，的最小值为-3，故选：C【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算、数量积及函数最值问题，属于中档题.10.等差数列的公差不为0，是其前项和，给出下列命题：若，且，则和都是中的最大项；给定，对一切，都有；若，则中一定有最小项；存在，使得和同号.其中正确命题的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】中可推导，结合，可知数列前5项为正，第6项为0，即可判断结论正误根据等差数列中下标之和相等则项的和相等的性质，可判断
8、正误时，不论首项的符号，都能判断中一定有最小项根据等差数列的定义可知和分别为，即可判断正误.【详解】对于若，可得，即，所以和都是中的最大项，正确；根据等差中项性质可知，所以是正确的；根据等差数列求和公式可知，当时，是最小值；当，或时取最大值；和，因为，所以和异号，故是错误的.【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式和前项和的性质，属于中档题.11.已知函数满足，且，则函数零点的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 0个【答案】B【解析】【分析】根据，可得，即有，可推出，解方程，得或，判断零点个数即可.【详解】，代入，得，.或，；，如图所示，函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个
9、数为2个；综上，零点个数为3个，故选：B【点睛】本题主要考查了导数公式的逆用，以及函数与方程问题，函数的零点个数，数形结合，属于难题.12.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此，3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9数字表示的两位数的个数为（ ）A. 9B. 13C. 16D. 18【答案】C【解析】【分析】根据题意6根算筹可表示数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；其中数字组合3、3，7、7只表示
10、2个两位数；其余7组每组可表示2个两位数，共个，因此可表示的两位数为16个.【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；则一共可以表示个两位数.故选:C【点睛】本题主要考查了数学文化，并以数学文化为载体考查考生的阅读能力以及逻辑推理能力，属于中档题.第卷（非选择题共90分）本卷包含必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都
11、必须作答；第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中横线上.）13.已知实数满足约束条件，则的最大值为_.【答案】5【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，所以的最大值为. 故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
12、（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.如图，在等腰梯形中，于点，如果选择向量与作基底，则可用该基底表示为_.【答案】【解析】【分析】由题意可知为的中点，根据向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可得为的中点，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，涉及向量的加、减法则，属于中档题.15.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和
13、的是较小的两份之和，则最小一份的量为_.【答案】【解析】【详解】设此等差数列为an，公差为d，则 （a3+a4+a5）=a1+a2，即，解得a1=，d=最小一份为a1，故答案为16.已知常数，函数的图像过点，若，则的值是_.【答案】【解析】【分析】将点代入函数解析式，联立可得，结合，化简得，解方程即可求解.【详解】由条件在函数图象上，则，即，所以函数图象上，则，即，所以得，又所以由，显然可知，均不为0，因为，故上式可化为，解之得：.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的性质及其运算.，需要有很强的代数变形能力和运算求解能力，属于难题.三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答写出文字说明，证
14、明过程或演算过程）17.已知函数，.（1）若是第二象限角，且，求的值；（2）求的最大值，及最大值对应的的取值.【答案】（1）（2）的最大值为3，此时【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简，由求，根据同角三角函数关系求解即可（2）由（1）知，根据正弦函数性质求解即可.【详解】（1），则，则，是第二象限角，.（2）.当时，取得最大值3，此时，即.【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图像求最值,属于中档题.18.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）判断函数的导函数在上的单调性；并求出函数在上的最大值.【答案】（1）（2）在上单调递增，在上单调递减；【解析】
15、【分析】（1）根据导数的几何意义可知，点斜式即可求出切线方程（2）导数在上为正，所以单调递增，当时，单调递减,同时，可知在上单调递增，在上单调递减，即可根据极值求函数的最大值.【详解】（1），切点，所以切线方程为.（2），令得，当时，单调递增；当时，单调递减；且，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数判断原函数的单调性，函数在闭区间上的最值问题,属于中档题.19.（1）当时，求证：；（2）如图，圆内接四边形的四个内角分别为、.若，.求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）为圆的
16、内接四边形可知，由（1）结论原式可化为，连接、，设，由余弦定理即可求解.【详解】（1）证明.（2）因为为圆的内接四边形，所以，由此可知：连接、，设，由余弦定理可得：，解得，那么，.所以原式.【点睛】本题主要考查了倍角公式的应用，四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用，属于难题.20.已知函数，若函数在定义域上有两个极值点，而且. （1）求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可【详解】（1）因为函数在定义域上有两个极值点
17、，且，所以在上有两个根，且，即在上有两个不相等的根，.所以，解得，即的取值范围为.（2）证明：由题可知，是方程的两个不等的实根，所以，其中故，令，其中.故，所以在上单调递减，则，即.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21.给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”.（1）设是首项为，公比为的等比数列，判断数列是否与接近，并说明理由；（2）已知
18、是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在这100个值中，至少有一半是正数，求的取值范围.【答案】（1）数列与是接近的，详见解析（2）【解析】【分析】（1）写出与的通项公式，计算即可证明（2）由题意，分公差，公差，公整分类讨论，分别取满足条件，利用与接近的定义，计算中所含的正数.【详解】（1）数列与是接近的.理由如下：因为是首项为公比为的等比数列，所以，所以，即数列与是接近的.（2）因为是公差为的等差数列，若存在数列满足：与是接近的，可得，若公差，可取，可得，则中有100个正数，符合题意；若公差，取，则，则中有100个正数，符合题意；若公差，可令，则中有50个正数，符合题意；若公整，若存
19、在数列满足：与是接近的，即为，可得，则中无正数，不符合题意；综上：的取值范围是.【点睛】本题主要考查了对新定义类问题，涉及等差数列的通项公式，绝对值不等式的性质，对运算推理论证能力要求较高，属于难题.请考生在第22、23题中仼选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.在极坐标系中，直线过点，且与直线垂直.（1）设直线上的动点的极坐标为，用表示；（2）在以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴的直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若曲线与直线交于点，求点的极坐标及线段的长度.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）点的极坐标为代入直线的极坐标方程
20、即可求解（2）联立曲线与直线即可求解点的极坐标，利用两点间距离公式求的长度即可.【详解】（1）由已知条件可得：直线的极坐标方程为：，动点在直线上，.（2）曲线的极坐标方程为：，联立曲线与直线解得：或，当时：，当时：.或.【点睛】本题主要考查了极坐标方程的应用，以及极径的几何意义，属于中档题.23.已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，则原问题等价于，据此可得实数的最大值.（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知，结合均值不等式的结论有，据此由综合法即可证得.法二：利用分析法，原问题等价于，进一步，只需证明，分解因式后只需证，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得，所以，所以只需，解得，所以实数的最大值.（2）证明：法一：综合法，当且仅当时取等号，又，当且仅当时取等号，由得，所以.法二：分析法因为，所以要证，只需证，即证，所以只要证，即证，即证，因为，所以只需证，因为，所以成立，所以.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
