1、北京市八一学校2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.选择题1. 复数的模为（ ）A. iB. 1C. 2iD. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算,化简可得复数,进而求得模.【详解】复数,由复数除法运算化简可得所以复数的模为 故选:B【点睛】本题考查了复数除法的运算,求复数的模,属于基础题.2. 已知圆，则其圆心和半径分别为（ ）A. ，2B. ，2C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据圆的标准方程直接求解即可.【详解】根据圆的标准方程，可得：圆心为，半径为，故选：D.3. 已知直线和直线互相平行，则的取值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
2、【分析】根据两直线平行可得出关于实数满足的等式与不等式，进而可求得实数的值.【详解】由于直线和直线互相平行，则，解得.故选：A.4. 已知三棱锥中，E是的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取CD中点F，连结AF，EF，推导出，即可求出结果【详解】如图，取CD中点F，连结AF，EF，三棱锥ABCD中，E是BC的中点， 故选：D【点睛】本题考查空间向量及其线性运算，考查向量的加法法则，属于基础题5. 设，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【详解】若、皆是实数
3、，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，故选B.考点：复数概念，充要关系6. 已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是( )A. ，且mB. mn，且nC. ，且mD. mn，且n【答案】D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：且或或与相交，故不成立；且或或与相交，故不成立；且或或与相交，故不成立；且，故成立；故选：【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.7. 如图，与复平面中的阴影部
4、分（含边界）对应的复数集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图可得复数的模长以及虚部的大小情况，据此进行选择.【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故；又复数对应点的纵坐标大于等于，故其虚部大于等于.综上所述，阴影部分（含边界）对应的复数集合为.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内的对应情况，属基础题.8. 已知，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.【详解】由，视为原点到直线上点的距离的平方，根据点到直线垂线段最短，可得，所有的取
5、值范围为，故选：C.9. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段的垂直平分面与平面的交线得到结论.【详解】根据题意可知，则点符合“为底面内的一个动点，且满足”，设的中点为，根据题目条件可知，点也符合“为底面内的一个动点，且满足”，故动点的轨迹肯定过点和点，可排除，而到点与到点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分面，线段的垂直平分面与平面的交线是一直线，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知
6、识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于难题.10. 已知点，过点作直线，不同时为垂线，垂足为，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】直线整理得 可知直线过定点T，所以点落在以为直径的圆上，点的轨迹为，圆心为C半径为1， 的最小值为;故选B.点睛：本题关键是分析出直线过定点，从而利用垂直关系找到垂足的轨迹方程，最后点点距离的最小值转化到点到圆心的距离减掉半径，重点是转化的思想.二、填空题（共4题，20分）11. 若复数（）是纯虚数，则_【答案】-1【解析】【分析】复数为纯虚数的条件是实部为0，虚部不为0，列关系式求解即可.【详解】解：复数（）是纯虚数，则，所以.故答案为：-1
7、12. 两条平行直线与间的距离为_【答案】【解析】【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式，可求得直线与之间的距离.【详解】两条平行直线与之间的距离为.故答案为：.13. 直线的倾斜角为_，经过点且与直线垂直的直线的斜截式方程为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由直线的斜率为即可得出倾斜角为，且与直线垂直的直线的斜率为1，利用点斜式即可求出直线方程.【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，与直线垂直的直线的斜率为1，则所求直线方程为，即.故答案为：；.14. 平面直角坐标系中，已知，在中，边上的高所在的直线斜率为，边上的中线所在直线的方程为，则直线的一般式方程为_，以为直径的圆的标准方
8、程为_.【答案】 (1). 2x+y50 (2). （x）2+（y1）2【解析】【分析】（1）根据BC边上高的斜率可求直线BC的斜率，再利用点斜式方程即可求解；（2）根据对称先求出C的坐标，再求AC的中点坐标，即为圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径，进而可求圆的标准方程【详解】解：（1）BC边上的高所在的直线斜率为，所以直线BC的斜率为2，直线BC的方程为y12（x2）即2x+y50，（2）设C（x0，y0），因为AC边上的中线所在直线的方程为y1，所以，即y02，由（1）可得BC的方程为y+2x50，所以2x0+y050，则x0，C（），中点（），所以圆的方程（x）2+（y1）215. 如
9、图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为_【答案】3【解析】【分析】以为原点，以分别为轴， 轴，轴正方向建立空间直角坐标系，设，根据，则，可得，从而点在底面内的轨迹为一条线段,从而可得答案.【详解】以为原点，以分别为轴， 轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，设，则 ， 由，则，即，则当时，,设所以点在底面内的轨迹为一条线段,所以，则又二次函数的对称轴为，当时，当时，有最大值3.故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据，则，可得，从而点在底面内的轨迹为一条线段，可得，从而
10、可出答案，属于中档题.三、解答题16. 已知平行四边形的两对角线，交与点，其中，.（）求点的坐标及所在直线方程；（）求平行四边形的面积.【答案】（），；（）4【解析】【分析】（）设，由是的中点列出方程可求出点的坐标；由坐标求出直线AD斜率，即可由点斜式求出直线方程；（）由两点距离公式求出，由点到直线的距离公式求出点到直线AD的距离，即可求出平行四边形的面积.【详解】（）设，可得是的中点，解得，则，则所在直线方程，即；（）可得，点到直线AD的距离为，平行四边形的面积为.17. 在锐角中，角的对边的长分别为，已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）6；（2）4.【解析】【分析】（1）由三
11、角形面积公式即可求出；（2）由余弦定理即可求出.【详解】（1）由三角形面积公式得，解得；（2），且是锐角三角形，.18. 如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，求证：平面BDE；求直线MN到平面BDE的距离；求二面角的大小【答案】见解析；【解析】【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BDE求出0，利用向量法得直线MN到平面BDE距离求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角的大小【详解】在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是
12、线段AD的中点，N是线段BC的中点，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，0，0，4，2，0，0，2，2，0，2，设平面BDE的法向量y，则，取，得0，平面BDE，平面BDE，0，直线MN到平面BDE的距离：平面BDE的法向量0，平面DEP的法向量0，设二面角大小为，则二面角的大小为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19. 如图1，在中，别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结，（）求证：平面平面；（）若为中点，求直线与平面所成角的正弦
13、值；（）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）证明见解析；（）；（）存在，.【解析】【分析】（）由可得，得，由得，即可说明平面，由此可以证明平面 平面；（）因为，所以，两两互相垂直以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则,即得解.（）假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为设，得出，.易得平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量，则有，即，解得的值，即得解.【详解】试题解析：（）证：因为，分别为，中点，所以/因为，所以所以因为，所以又因为 =，所以 平面又因为平面，所以平面 平面 （）解： 因为，所以，两两互相垂直以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，则，设平面的一个法向量，则有，即，令得，所以设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为 （）解：假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为设，则，即 所以，.易得平面的一个法向量为设平面的一个法向量，则有，即，令，则若二面角的余弦值为，则有，即，解得，又因为，所以故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角和面面角的求解，难度较大，解题的关键是根据，两两互相垂直建立空间直角坐标系，利用向量的方法建立角的关系.- 16 -