1、2021-2022学年江苏省南京市中华中学高三（上）暑期学情调研数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合，则（）ABCD2设，则（）A0B1CD33已知向量，若，则（）A12B6C6D34南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则“、不总相等”是“，不相等”的（）
2、A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5若且，则的值为（）ABCD6若函数在区间内单调递增，则实数b的取值范围是（）ABCD7若双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A2BCD8已知奇函数（）满足：对一切，且时，则（）A1BC0D二、多项选择题：本题欧共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9已知，且，若，则下列不等式可能正确的是（）ABCD10函数的图象可能是（）ABCD11声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数，
3、我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A是的一个周期B在上有3个零点C的最大值为D在上是增函数12关于函数，下列判断正确的是（）A是的极大值点B函数有且只有1个零点C存在正实数k，使得成立D对两个不相等的正实数，若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13命题“，”，命题的否定是 14已知，且，则实数k的值为 15九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，共收有246个与生产实践有关的应用题书中有一道“两鼠穿墙题”，原文如下：“今有垣厚十八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，其大意
4、为：“现在有厚18尺的墙，有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两只老鼠第几天相逢？”请同学们运用所学数列知识，判断这两只老鼠在第 天相逢？（天数取整数）16已知函数，若存在实数使在上有2个零点，则m的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积在下面两个条件中选择一个条件，求的周长条件：；条件：18正项等差数列中，已知，且，构成等比数列的前三项（）求数列，的通项公式；（）求数列的前n项和19在传染病学
5、中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如表表格：潜伏期（单位：天）人数85205310250130155（）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该
6、地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，则X的期望是多少？附：P（）0.050.0250.0103.8415.0246.635，其中20如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，且，为等边三角形（1）求证：；（2）求二面角的正弦值21已知函数（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）若对，都有，求a的取值范围；（3）若方程有两个不同的解，求a的取值范围22在平面直角坐标系中，椭圆E：（）经过点，焦距为4经过椭圆E的左焦点F的直线l与椭圆E相交于A、B两点（1）求椭圆E的方程；（2）
7、当直线l经过椭圆E的上顶点时，求的面积；（3）若经过点F作l的垂线，并与直线相交于点P当最大时，求直线l的方程参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1解：集合，则故选：B2解：，故选：B3解：由，得，解得，所以，则故选：C4解：夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，由祖暅原理得：“、不总相等”推导不出“，不相等”，“，不相等”“、不总相等”，则“、不总相等”是“，不相等”的必要而不充分条件故选：B5解：且，则，故选：D6解：，则，因为函数在区间内单调递增，所以导函数在区间内大于等于0恒成立，即，恒成立，又时，所
8、以故选：A7解：双曲线C：（，）的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，可得，即故选：A8解：根据题意，对任意都有，则函数的图象关于直线对称，又由函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称，则有，故，即函数为周期为4的周期函数，则，又由时，则，故选：C二、多项选择题：本题欧共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9解：由，即，当时，则有，即，此时，则，当时，则有，即此时，则，故选：AD10解：当时，则选项C符合；当，故排除D
9、；当时，当且仅当时取等号，则函数在上为减函数，在为增函数，故选项B符合；当时，函数的定义域为，当，由于在，为增函数，则在，为减函数，故A符合，故选：ABC11解：的周期为，的周期为，的周期为，故A正确；由，得，得或，则在上有3个零点，故B正确；函数的最大值在上取得，由，可得，当时，单调递减，原函数单调递增，当时，单调递减，原函数单调递减，则当时，原函数求得最大值为，故C正确；，在上不是增函数，故D错误故选：ABC12解：对于A：函数的定义域为，函数的导数，所以在上，单调性递减，在上，单调递增，所以是的极小值点，即A不正确；对于B：，所以，函数y在上单调递减，且，所以函数有且仅有1个零点，故B正
10、确；对于C：若，可得，令，则，令，则，所以在上，函数单调递增，在上，函数单调递减，所以，所以，所在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k，使恒成立，即C不正确；对于D：令，则，令，则，所以在上单调递减，则，令，由，得，则，当时，成立，对任意两个正实数，且，若，则，所以，故D正确故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13，解：因为含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题“，”的否定为：，144解：，令，可得再令，可得，则实数，故答案为：4155解：大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天
11、，则满足，即，即，则在上是增函数，相遇时是第5天，故答案为：516解：令得，且在上递增对于，函数图象关于对称，且开口向上当时，显然只有一个交点，不符题意（图）当时，总能找到a，使得两函数有两个交点（图）；当时，的图象的右半部分至多与在x轴上方的图象产生两个交点此时只需研究与的图象即可事实上，此时过点做的切线，只要是切点落在内即可（图）设切点为，且，所以切线方程为：，将代入整理得：，令得，易知时，故在递减，即综上可知，当时，存在实数使在上有2个零点故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17解：选择条件，因为，所以，
12、所以，所以，所以，当时，由余弦定理得，当时，同理可得，所以的周长为或选择条件，因为，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以的周长为18解：（）正项等差数列中，构成等比数列的前三项，的前3项分别为，10，依题意，有，解得或（舍），的首项，公比，（），得，19解：（）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则，经查表，得，所以，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X服从二项分布：，1，2，20，则
13、，所以，X的期望为20【解答】（1）证明：取的中点O，连结，因为为等边三角形，所以，因为四边形是边长为2的菱形，且，所以为等边三角形，所以，又，所以平面，又因为平面，所以（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又由（1）知、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设为平面的法向量，则，令，平面所法向量为，设二面角的平面角为，所以，所以二面角的正弦值为21解：（1），当时，在上单调递减，当时，若，则，在单调递增，若，则，在单调递减，综上可知，当时，在上单调递减，当时，在单调递增，在单调递减（2）设，则，构造函数，即在递减，所以，设，又设，则，在上单调递增，所以，所以，在
14、上单调递减，所以，即a的取值范围是（3），令，方程有两个不同的解，即有两个零点，即，当时，单调递减，最多有一个零点，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，解得，下证：当时，有两个零点，因为，所以在有唯一零点，又因为，所以，所以，所以，取，即，由，所以在上有唯一零点，综上可知，当时，有两个零点22解：（1）因为椭圆E经过点，焦距为4，所以，得，解得，所以，所以椭圆E的方程为（2）由（1）知，椭圆E的上顶点为，此时直线l的方程为，代入椭圆的方程，得，解得或，所以的面积为（3）直线l的倾斜角不等于0，（否则直线l与直线垂直），所以可设直线l：，由，得，所以，所以，异号，由求根公式可得，在中，同理可得，所以，当且仅当，即时，取等号，所以为锐角，又在上单调递增，所以最大值，所以最大时，直线l的方程为